最近、妹がグレブナー基底に興味を持ち始めたのだが。

計算機実験（中編）

「全然ダメだ。」

Borgwardt 先生のオフィスで、群城はそう断罪された。

机の上には、群城が、群城なりにまとめた発表原稿が置いてある。

先日、C.J. との会話からヒントを得た彼女は、嘘つき問題をグレブナー基底で解く、という方法を思いついた。

本番の発表の前に、アドバイスをもらおうと、授業の先生のオフィスまで来たのだ。

「どうしてダメなんですか！？」

群城は、reject された自分の原稿を見て、間髪を入れずに聞き返す。

そのだいたいの内容は、

§１. グレブナー基底の定義

§２. 消去理論

§３. 消去理論の応用-嘘つき問題を解く-

というのものであった。

「まあそうだな……§１・§２は、特にミスもないし、これでいいだろう。」

「はい。」

「…しかし、問題なのは、この§３だ。」

Borgwardt 先生は、ホチキスで留められた原稿をぺらっとめくって、群城に見せる。

「……君は、『グレブナー基底を使って、連立方程式が解ける。よって、嘘つき問題が解ける』と書いた。」

「それが間違っているんですか？」

「いや間違ってはいない。」

「それではなぜ！？」

群城は、せっかちな性格からか、身を乗り出して質問する。

Borgwardt 先生は、冷静に、群城をなだめる。

「まあ、とりあえず、落ち着いて聞いてくれ。」

Borgwardt 先生は、ドイツ出身の若い先生で、その若さとは裏腹に、腰が据わっている。

少し興奮していた群城も、そんな先生の平静な姿に説得されてか、きちんとイスに座り直した。

「さて、まず、グレブナー基底は計算可能だ。これは、授業でも、君の原稿の§１でも証明してるね？」

「ええ……はい。」

「しかし、これは実際に、グレブナー基底が計算できるのとは、別の話だ。」

「え？」

Borgwardt 先生は、デスクのパソコンをスリープから起こす。

「具体的に見てみよう。」

そして、数式処理システム Maple を起動した。

「実際に、この Maple で、グレブナー基底を計算してみる。」

「授業でも使っていた Maple ですね。」

「ああ。」

メイプル、メイプル、プールプル。

群城は、一瞬、謎のメロディが頭に浮かんだが、なんだったか思い出せなかった。

だが、ストーリーとは関係ないので、気にしないことにした。

Borgwardt 先生は、

with(Groebner)

と入力し、グレブナー基底を計算できるパッケージを読み込んだ。

そして、

Basis({x^7+y^3+z^2-1, x^7+y^5+z^3-1}, plex(x, y, z))

と打ち込んだ。

「これの意味はわかるかな？」

「えっと、3変数の辞書式順序で、」

{x^7+y^3+z^2-1, x^7+y^5+z^3-1}

「のグレブナー基底を計算するってことですよね？」

「Exactly. その通りだ。では、実際に計算してみよう。」

先生が、Enter を押すと、

[y^5-y^3+z^3-z^2, x^7+y^3+z^2-1]

が出てきた。

「計算できてますよね？」

「そうだな。では、次に、少し次数を変えてみよう。」

{x^7+y^3+z^2-1, x^7+y^5+z^3-1}

「の１つ目の式」

x^7+y^3+z^2-1

「の x の次数を2に下げて、」

x^2+y^3+z^2-1

「に変えたもの」

Basis({x^2+y^3+z^2-1, x^7+y^5+z^3-1}, plex(x, y, z))

「を計算してみよう。」

「はい。」

先生が、Enter を押した。

[y^21+7*y^18*z^2+21*y^15*z^4-7*y^18+35*y^12*z^6-42*y^15*z^2+35*y^9*z^8-105*y^12*z^4+21*y^6*z^10+21*y^15-140*y^9*z^6+7*y^3*z^12+105*y^12*z^2-105*y^6*z^8+z^14+210*y^9*z^4-42*y^3*z^10-35*y^12+210*y^6*z^6-7*z^12-140*y^9*z^2+105*y^3*z^8+y^10-210*y^6*z^4+21*z^10+35*y^9-140*y^3*z^6+105*y^6*z^2+2*y^5*z^3-35*z^8+105*y^3*z^4-21*y^6+36*z^6-2*y^5-42*y^3*z^2-21*z^4+7*y^3-2*z^3+7*z^2, -10*y^20*z^14+3*y^19*z^15-85*y^20*z^13+40*y^19*z^14-15*y^18*z^15-64*y^17*z^16+20*y^16*z^17-295*y^20*z^12+187*y^19*z^13-115*y^18*z^14-535*y^17*z^15+255*y^16*z^16-95*y^15*z^17-171*y^14*z^18+56*y^13*z^19-560*y^20*z^11+460*y^19*z^12-370*y^18*z^13-1760*y^17*z^14+1140*y^16*z^15-720*y^15*z^16-1405*y^14*z^17+680*y^13*z^18-251*y^12*z^19-244*y^11*z^20+84*y^10*z^21-650*y^20*z^10+693*y^19*z^11-640*y^18*z^12-2826*y^17*z^13+2520*y^16*z^14-2190*y^15*z^15-4359*y^14*z^16+2887*y^13*z^17-1880*y^12*z^18-1970*y^11*z^19+970*y^10*z^20-354*y^9*z^21-196*y^8*z^22+71*y^7*z^23-530*y^20*z^9+666*y^19*z^10-580*y^18*z^11-1839*y^17*z^12+2870*y^16*z^13-3125*y^15*z^14-5574*y^14*z^15+5585*y^13*z^16-5380*y^12*z^17-5732*y^11*z^18+3884*y^10*z^19-2620*y^9*z^20-1555*y^8*z^21+780*y^7*z^22-281*y^6*z^23-84*y^5*z^24+32*y^4*z^25-450*y^20*z^8+330*y^19*z^9-130*y^18*z^10+737*y^17*z^11+890*y^16*z^12-905*y^15*z^13+754*y^14*z^14+3719*y^13*z^15-5848*y^12*z^16-5216*y^11*z^17+6320*y^10*z^18-7016*y^9*z^19-4217*y^8*z^20+2925*y^7*z^21-2055*y^6*z^22-655*y^5*z^23+335*y^4*z^24-119*y^3*z^25-15*y^2*z^26+6*y*z^27-450*y^20*z^7-176*y^19*z^8+185*y^18*z^9+1621*y^17*z^10-2495*y^16*z^11+3805*y^15*z^12+10322*y^14*z^13-4953*y^13*z^14+4349*y^12*z^15+8382*y^11*z^16+48*y^10*z^17-4922*y^9*z^18-2064*y^8*z^19+3750*y^7*z^20-5118*y^6*z^21-1644*y^5*z^22+1168*y^4*z^23-860*y^3*z^24-115*y^2*z^25+60*y*z^26-21*z^27-180*y^20*z^6-536*y^19*z^7-105*y^18*z^8+364*y^17*z^9-5230*y^16*z^10+5245*y^15*z^11+8810*y^14*z^12-13463*y^13*z^13+19238*y^12*z^14+22944*y^11*z^15-15082*y^10*z^16+14816*y^9*z^17+11976*y^8*z^18-3859*y^7*z^19-1328*y^6*z^20-6*y^5*z^21+1040*y^4*z^22-1978*y^3*z^23-265*y^2*z^24+193*y*z^25-150*z^26+470*y^20*z^5-353*y^19*z^6-615*y^18*z^7+1167*y^17*z^8-5440*y^16*z^9-25*y^15*z^10-3142*y^14*z^11-14321*y^13*z^12+16028*y^12*z^13+9334*y^11*z^14-21598*y^10*z^15+35894*y^9*z^16+22190*y^8*z^17-16588*y^7*z^18+17998*y^6*z^19+7117*y^5*z^20-3178*y^4*z^21+503*y^3*z^22+150*y^2*z^23+85*y*z^24-316*z^25+x*z^23+1010*y^20*z^4+360*y^19*z^5-525*y^18*z^6+5363*y^17*z^7-1435*y^16*z^8-5950*y^15*z^9-3936*y^14*z^10-7006*y^13*z^11-12388*y^12*z^12-23596*y^11*z^13-9252*y^10*z^14+14666*y^9*z^15-1882*y^8*z^16-13924*y^7*z^17+32224*y^6*z^18+9971*y^5*z^19-8196*y^4*z^20+9989*y^3*z^21+1580*y^2*z^22-813*y*z^23+272*z^24+4*x*z^22+980*y^20*z^3+975*y^19*z^4+250*y^18*z^5+7559*y^17*z^6+5260*y^16*z^7-3860*y^15*z^8+12156*y^14*z^9+8430*y^13*z^10-33295*y^12*z^11-21544*y^11*z^12+8948*y^10*z^13-49314*y^9*z^14-41107*y^8*z^15+8120*y^7*z^16-2475*y^6*z^17-7327*y^5*z^18-2455*y^4*z^19+13913*y^3*z^20+1670*y^2*z^21-1513*y*z^22+2133*z^23-5*x*z^21+550*y^20*z^2+975*y^19*z^3+940*y^18*z^4+3710*y^17*z^5+8380*y^16*z^6+4595*y^15*z^7+18448*y^14*z^8+26274*y^13*z^9-13087*y^12*z^10+23272*y^11*z^11+26114*y^10*z^12-74727*y^9*z^13-25662*y^8*z^14+21584*y^7*z^15-71791*y^6*z^16-28501*y^5*z^17+11786*y^4*z^18-9947*y^3*z^19-2850*y^2*z^20+509*y*z^21+2280*z^22-55*x*z^20+175*y^20*z+550*y^19*z^2+970*y^18*z^3-2315*y^17*z^4+4335*y^16*z^5+9095*y^15*z^6-1602*y^14*z^7+26210*y^13*z^8+27770*y^12*z^9+38076*y^11*z^10+41970*y^10*z^11-2241*y^9*z^12+42624*y^8*z^13+19114*y^7*z^14-73402*y^6*z^15-9460*y^5*z^16+12306*y^4*z^17-45716*y^3*z^18-7030*y^2*z^19+3681*y*z^20-3774*z^21-76*x*z^19+25*y^20+175*y^19*z+550*y^18*z^2-4670*y^17*z^3-2105*y^16*z^4+4960*y^15*z^5-24246*y^14*z^6-162*y^13*z^7+37042*y^12*z^8-13512*y^11*z^9+27720*y^10*z^10+90900*y^9*z^11+56115*y^8*z^12+21523*y^7*z^13+40897*y^6*z^14+39290*y^5*z^15-957*y^4*z^16-30083*y^3*z^17-10*y^2*z^18+1774*y*z^19-10759*z^20+176*x*z^18+25*y^19+175*y^18*z-3125*y^17*z^2-4640*y^16*z^3-1895*y^15*z^4-22030*y^14*z^5-25806*y^13*z^6+4633*y^12*z^7-59516*y^11*z^8-30354*y^10*z^9+78566*y^9*z^10-24963*y^8*z^11+8149*y^7*z^12+140777*y^6*z^13+38133*y^5*z^14-897*y^4*z^15+50893*y^3*z^16+12890*y^2*z^17-3434*y*z^18-3369*z^19+649*x*z^17+25*y^18-1050*y^17*z-3125*y^16*z^2-4610*y^15*z^3-3050*y^14*z^4-23505*y^13*z^5-26726*y^12*z^6-32542*y^11*z^7-70224*y^10*z^8-27478*y^9*z^9-81462*y^8*z^10-47336*y^7*z^11+72764*y^6*z^12-30224*y^5*z^13+2470*y^4*z^14+95632*y^3*z^15+8705*y^2*z^16-1664*y*z^17+17697*z^18+421*x*z^16-150*y^17-1050*y^16*z-3125*y^15*z^2+8650*y^14*z^3-3575*y^13*z^4-24980*y^12*z^5+25844*y^11*z^6-35552*y^10*z^7-90872*y^9*z^8-22665*y^8*z^9-76916*y^7*z^10-93085*y^6*z^11-64484*y^5*z^12-22748*y^4*z^13+15937*y^3*z^14-13645*y^2*z^15+3584*y*z^16+22513*z^17-1193*x*z^15-150*y^16-1050*y^15*z+7375*y^14*z^2+8575*y^13*z^3-4100*y^12*z^4+41620*y^11*z^5+27334*y^10*z^6-46952*y^9*z^7+63539*y^8*z^8-11852*y^7*z^9-141611*y^6*z^10-3785*y^5*z^11-39260*y^4*z^12-101966*y^3*z^13-20265*y^2*z^14-1807*y*z^15-7095*z^16-2609*x*z^14-150*y^15+2625*y^14*z+7375*y^13*z^2+8500*y^12*z^3+15150*y^11*z^4+43470*y^10*z^5+27124*y^9*z^6+59822*y^8*z^7+71072*y^7*z^8-24152*y^6*z^9+62606*y^5*z^10+6483*y^4*z^11-97040*y^3*z^12+4020*y^2*z^13-8993*y*z^14-36684*z^15-1307*x*z^13+375*y^14+2625*y^13*z+7375*y^12*z^2-7500*y^11*z^3+15850*y^10*z^4+45790*y^9*z^5-5299*y^8*z^6+62453*y^7*z^7+89241*y^6*z^8+39884*y^5*z^9+59421*y^4*z^10+24840*y^3*z^11+24045*y^2*z^12+1950*y*z^13-20780*z^14+1942*x*z^12+375*y^13+2625*y^12*z-9250*y^11*z^2-7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「ええええええ！！？？」

「驚いたかな。」

「何が起こったんですか！？」

「簡単に言えば、計算が"爆発"してしまったんだよ。」

「爆発？」

群城は、聞きなれない言葉を繰り返す。

「一般に、グレブナー基底は、計算量が膨大だとされる。今やった例のように、単純な２つの多項式からでさえ、大量の複雑な式が出てくる可能性がある。」

「なるほど……」

「式の数がどんどん増えてしまったり、多項式の係数がどんどん大きくなってしまうと、コンピュータでは扱えなくなってしまうことがある。」

「うわあ…」

「…では、」

先生は、新しい式を入力した。

Basis({x^8+y^3+z^2-1,x^7+y^5+z^3-1}, plex(x, y, z))

「最後に、これを計算してみようか。これは、さっきの式の一番目の x の次数を 8 にしたものだ。」

「まさか…」

「それでは、Enter を押そう。」

「ちょ、ちょっと、まだ心の準備が！」

先生は、Enter を押した。

「…………あれ？」

「はは、何も出ないね。」

「これって？」

「まだ、計算中ってことだね。いつ終わるか分からないけど、必ず終わるってことは、数学的に証明されている。しかし、それは、一時間後か、一日後か、一年後か、もしかしたら、１００年後かもしれない。そこまで待ってみるかい？」

「いや、いいです…」

「ははは。」

Borgwardt 先生は、お堅い先生かと思いきや、こういう気さくなところもある。

「言いたかったことは、実際に計算してみなくちゃ分からないってことだ。」

先生は、続ける。

「理論的には、君の言うように、グレブナー基底で、『嘘つき問題』は解けるだろう。しかし、現実的な時間内に、解けるかどうかは、実際に計算してみないと分からない。地球が滅びた後に、『計算できた！』ってなっても意味がないからね。計算機代数学では、この計算量の壁に向き合わなければならない。」

なるほど。

群城は、心の中でそう思った。

「実際に、具体的な問題を、グレブナー基底を計算してみます！

先生、ありがとうございました！！」

そう言って、群城は勢いよく、先生のオフィスを飛び出した。