異世界に行ったら背理法がなかった

異世界に行ったら背理法がなかった

「こんな問題、どうやって解けば……」

「安心しろ、リーナ。これは俺が解く。背理法でな」

＊＊＊

事の起こりは三日前だった。

学校の帰り、数学オリンピックの問題集を読みながら歩いていた俺は、トラックに轢かれた――と思ったら、異世界にいた。

石畳の道路に石造りの家。道にはテントで出店する商人たち。中世ヨーロッパ風の光景が広がっていた。

女神とかに会ってないんだが、俺、チート能力とかあんのかな。これからどうすればいいんだ。

考えてる俺の耳に、「きゃーっ」と女の子の悲鳴が聞こえた。

くっ、もうイベントが起こったのか！

俺は路地裏に飛び込んだ。

すると、俺の方へ走ってくる女の子がいた。小柄で黒髪の子だ。俺と目が合うと、

「あっ、強そうな人！　助けてください！　あの子が私の本を取ろうとしたんです！」

と言って俺の背後に隠れた。

え、俺が強そう？　マジで？

相手はどんな奴だと見ると、そこにいたのは……。

美少女だった。金髪で目が鋭い。彼女は慌てて言った。

「ち、違うわよ！　その子が私の本を取ったのよ！　信じて！！」

ええ～～。

なんだそれ、どっちが正しいんだ。

俺は考えた。なーに、考えるのは得意だ。

「嘘ついてるのは……お前だぁっ！！」

俺は、黒髪の子の腕をつかんだ。

「きゃっ、ちょっ、痛いわよ！　離して！」

「離してほしかったら、本を返すんだな！　言っておくが、俺は本当に強いぞ！」

俺は魔法でも使いそうな感じで、手をわきわきさせた。

いや本当は魔法の使い方とか知らんわけですが。

黒髪は観念して本を地面に置いた。

「こ、これでいいでしょ！」

俺が手を離すとパッと逃げ去った。

金髪の子が近付いてきて、本を拾う。

「はあ……よかった……」

へなへなと座り込むと、俺を上目遣いに見た。

「あの、ありがとうございます。私、リーナ・ウィルヘルムって言います。あなたは？」

「俺はやま……孝（たかし）、山田（やまだ）だ」

「タカシさん？　変わったお名前ですね」

異世界の名前だからな。

「ところでタカシさん。どうしてあの子が犯人だとわかったんですか？」

「簡単な話さ」

俺はよどみなく答えた。

「あの子が被害者なら、本当に強い人間を頼るはずだ。だが俺は、どう見ても強そうにない。ちょっと行けば大通りに出るんだから、そこまで逃げた方が良い。よってあの子は被害者じゃない」

するとリーナは、キョトンとした。

「不思議な証明ですね。被害者じゃないから犯人？　なぜですか？」

「なぜって、被害者か犯人かの二択だからだろ？」

彼女はまだ、不思議そうにしている。

「背理法っていう、数学の証明方法なんだが……知らないか？」

「ハイリホウですか？　さぁ、数学は詳しいつもりですが、知りません」

「詳しいって、どのくらい？」

「両親の本は全部読んでます」

「いやそう言われても……リーナの両親は数学者なのか？」

「ご存じないんですか？　ウィルヘルム夫婦と言えば、有名な数学者夫婦じゃないですか！」

「すまん、知らない」

リーナは頬を膨らませた。

「じゃ、じゃあ、その本も、数学の？」

「はい。両親の書いた本で、出版前なんですけど、すごく面白いですよ！」

リーナが見せた本のタイトルは、『ゼータ関数の非自明なゼロ点について』。

……えっ！？　ゼータ関数の！？　非自明な！？　ゼロ点！？

俺が興奮する理由を説明するのは難しい。

簡単に言うと……元の世界では、これはリーマン予想と呼ばれる未解決問題を指す言葉なんだ。

この本にその証明が？　いやまさか。一般向けの解説書だろう。

「二人が、証明が完成したって喜んで書いた本なんです！」

キターーーーッ！！

いやいや、元の世界でも、リーマン予想が解けたって言い張る人はたくさんいた。きっとその両親もそうに違いない。

でも気になる。読んでみたい。

「あの、リーナさん？　ちょっとその本、見せてもらっても……」

「ええ、良いですよ。あ、でも、それだったら……私の家に、来ませんか？」

＊＊＊

リーナが案内したのは、超でかい家……の向かいにある家だった。

家には本がたくさんあった。全部、数学の本だ。

どの本も気になるが、一番気になるのはリーマン予想だ。

「じゃあ、早速その本を……」

「良いですけど……その前に、さっきの不思議な証明について教えてください。なんですか、ハイリホウって？」

「命題の否定を仮定して、矛盾を導く論法なんだが……例えば、素数が無限に存在することは、背理法で証明できる」

「あら、それなら簡単ですよ」

リーナは紙になにやら数式を書いた。

それは複雑な式だったが……俺にはわかった。

「素数の一般項だーーーっ！」

「えっ、なに！？」

「なるほど、ｎに任意の自然数を入れるとｎ番目の素数が得られて、自然数は無限にあるから素数も無限にある……って大道具すぎるわ！！」

「何を驚いているのかわかりませんが……ハイリホウではどうやるんですか？」

「まず、素数が有限個だと仮定する」

「無限にあるのに？」

「だから、仮定だって。そして、すべての素数の積に１を加えた数を考える」

「それは無限になるのでは？」

「だから、今は有限個なんだって！　この数は、どの素数とも一致しないが、どの素数でも割り切れない。つまりこの数は、素数でも合成数でもない数になるが、１以外にそんな数は存在しない。よって『素数は有限個』という仮定は誤りであり、素数は無限個ってことになる」

「有限でなければ無限？　なぜですか？」

ま、マジか。

この世界の数学はどうなっているんだ。なんで背理法がないんだ？

「どのみち、それは証明になりませんよ。証明とは、構成的であるべきですから。素数の無限性の証明なら、そこから無限個の素数を構成する方法が得られるべきです」

ドヤ顔で語るリーナの言葉を聞いて――俺はひとつの概念を思い出した。

これは、直観主義論理だ！

数学の体系のひとつで、背理法とかを認めないやつだ！

「面白えじゃねえか……それでどうやってリーマン予想を証明したのか、興味がある。その本、見せてくれ」

「ええ、どうぞ」

それから、俺は。

三日三晩、その本を読み続けた。

＊＊＊

この三日間、俺の頭はパンク寸前だった。証明に対する考え方が全く違うからな！　ストレスしかない。

そして三日経ってようやく、この家にリーナの両親がいないことに気が付いた。

「なぁリーナ、ご両親は？」

「父と母は……例の魔王に連れ去られたんです」

「魔王なんているのか？」

「知らないんですか？　一か月前に現れて、国中の知識人をさらっているんです。それで父と母も……」

マジか。

「そうだタカシさん！　その本をまだ読みたいなら、魔王を倒してくれませんか？」

「そんな無茶な」

「タカシさんならできます！　魔王はこう言ってるんです。魔王の出す数学の問題を誰か一人でも解けたら、全員を解放する、と」

なんだそりゃ。

でも、それなら俺でも戦えるかもしれない。

「わかった、行ってみよう。魔王はどこにいるんだ？」

「え？　うちのお向かいさんですよ？」

「は？」

＊＊＊

でかい家だと思っていたら、魔王城だったらしい。

ノックすると、魔物が俺達を応接間に案内した。

やがて、魔王が応接間に現れた。そいつは……。

「あっ、お前！」

「あっ、あなた！」

「ああっ、貴様ら！」

三日前、俺が締め上げた黒髪少女じゃないか！

「まだ私に用があるのか！」

「もちろんです！　両親を返してください！　あなたの出す問題を、このタカシさんが解きます！」

「なに、タカシ、だと？」

魔王が俺を睨む。え、なに、俺なんかした？

「まぁいい。じゃあこの問題を解いてみろ」

魔王が指を鳴らすと、空中に問題文が表示された。

『フェルマーの最終定理を知らないものとして、次の命題を証明せよ。

　0でない整数x,y,zがあり、x^3+y^3=z^3が成立しているとする。このとき、x,y,zのうち少なくとも１つは３の倍数である』

リーナが口走る。

「待ってください。フェルマーの最終定理より、その等式は成立しません！」

「だから、それを知らないものとして、って話なんだろ」

「ありえません、そんなこと。そんな数学、無意味です」

「無意味ではない！」魔王が怒鳴った。「既に知られた結果を否定し、それで何が得られるか――それを考察するのも、立派な数学だ！」

「だとしても、こんな問題、どうやって解けば……」

「安心しろ、リーナ。これは俺が解く。背理法でな。――おい魔王、もう答えていいんだろ？」

「もちろんだ」

俺は深呼吸してから、一息に言った。

「x,y,zがいずれも３の倍数ではないと仮定する。すると、z^3を９で割った余りは１か８になる。一方、x^3+y^3を９で割った余りは０、２、７のいずれかになる。したがって、これらが等号で結ばれることはありえない。よって、x,y,zの少なくとも１つは３の倍数になる。これでどうだ！？」

魔王も、深呼吸した。

「――正解だ」

リーナの顔がパッと輝く。

「それじゃあ、みんなを……」

「ああ、解放してやる」

「やったーー！」

リーナは喜んだが、俺は釈然としなかった。

「なあ、魔王。気になることがあるんだが」

「奇遇だな、私もだ」

「え、なんですか、二人とも？」

きょとんとするリーナを置いて、魔王が言った。

「そうだな、まずは名乗ろう。私の名は、セキ・アヤカだ」

「やっぱり……日本人！」

俺は立ち上がって、魔王に――アヤカに近付く。アヤカも近付いてきた。

そして俺達は、熱く抱き合った。

「会いたかったーーー！」

「背理法がない世界なんて、生きづらいだけだったーーー！」

「同じ境遇の人間に会えて嬉しいよーーー！！」

知識人をさらっていたのは、こういう理由だった。

アヤカは背理法を知る人間を探していたのだ。背理法のない数学なんて、俺達にはチンプンカンプンだからな。リーナの両親の本、読んでてストレスしかなかった。

「そうだ、本。なんでお前は、本を盗もうとしたんだ？」

「決まっているだろう。リーマン予想の証明だぞ！　読みたくないはずがない！！」

ああ、そりゃそうだ！

俺達はずっと、抱き合って、泣き合った。