巨大数で遊ぼう！

みくみく順序数 Act.1.7

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　■　はちゅね階層で使う記号の定義　■

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　a　：１以上の整数

　A　：１以上の整数 or ᶜ...(Ø)a

　C　：ᶜ...(Ø)

　B　：0 or A or C

　…0　：０個以上の項に0

　…B　：０個以上の項にB

　【□⟼（ƒ）Ｍ】　：「□」の文字列が、「はちゅね階層の計算規則」によって、十進法表記による非負整数を構成する記号、「0」と「1」と「2」と「3」と「4」と「5」と「6」と「7」と「8」と「9」と、コア数の土台となる記号、「(」と「)」と「[」と「]」と「/」の、合計、十五種類のみの記号で構成される文字列「Ｍ」に写される。その「Ｍ」の文字列。この「□」の像である「Ｍ」は、必ず「□」よりも小さい。この「Ｍ」は「n」を定数としたとき以下の条件を全て満たす。

　・条件 ❶　「Ｍ」は「□」よりも小さい。

　・条件 ❷　「Ｍ」は「□」から写像を１回以上繰り返した像の中で最も大きい。

　ƒ [□ ; n]　：「□」について急増加関数「𝑭 m {n}」の「n」を参照して「はちゅね階層の計算規則」を適用する。

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　■　 はちゅね階層における記号「,」の拡張 　■

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　項を区切る記号である「,」を「[…B/B]」または「/」で表す。それに伴い「はちゅね階層以外」で使用している「[■]」の記号は「{■}」で代用する。

　[X]　：はちゅね階層の任意の文字列。任意のコア数の[X]は同値でも同値でなくてもかまわない。

　[H]　：[0/0]以外

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　■　はちゅね階層の計算規則　■

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　はちゅね階層は、十進法表記による非負整数を構成する記号、「0」と「1」と「2」と「3」と「4」と「5」と「6」と「7」と「8」と「9」と、コア数の土台となる記号、「(」と「)」と「,」の、合計、十三種類のみの記号で構成される「みくみく順序数」の表記である。はちゅね階層の計算規則を以下に定める。計算規則は、❶記号の変換、❷計算の順序、❸加算の定義、❹写像「ƒ」とそれに伴う写像「φ」「𝐒𝐮𝐦」「𝐍𝐞𝐬𝐭」「𝐂𝐥𝐮𝐬𝐭」の定義からなる。

　❶記号の変換

　　01:　ƒ {οᵩ ; n} = φ{οᵩ }

　　02:　ƒ { C ; n} = ƒ {ᶜ...(Ø)}

　❷計算の順序

　　01:　ƒ {ᶜ...(Ø)} = ᶜ... ƒ (Ø)

　　02:　ᶜ... ƒ (Ø) = ᶜ... + { ƒ (Ø) }

　　03:　ᶜ... + { ƒ (Ø) } = ᶜ... +【(Ø)⟼（ƒ）Ｍ】

　　04:　ᶜ... +【(Ø)⟼（ƒ）Ｍ】= ᶜ... Ｍ

　❸加算の定義

　　01:　a + {ᶜ...(Ø)} = ᶜ...(Ø)

　　02:　a + {ᶜ...(Ø)a} = ᶜ...(Ø)a

　　03:　{ᶜ...(Ø)} + 0 = ᶜ...(Ø)0

　　04:　ᶜ...(Ø)0 〓 ᶜ...(Ø)

　　05:　{ᶜ...(Ø)} + a = ᶜ...(Ø)a

　　06:　{ᶜ...(Ø)a} + 0 = ᶜ...(Ø){a + 0}

　　07:　{ᶜ...(Ø)a} + a = ᶜ...(Ø){a + a}

　　08:　{ᶜ...(Ø)} + {ᶜ...(Ǿ)} = ᶜ...(Ø) ᶜ...(Ǿ)

　　09:　{ᶜ...(Ø)} + {ᶜ...(Ǿ)a} = ᶜ...(Ø) ᶜ...(Ǿ)a

　　10:　{ᶜ...(Ø)a} + {ᶜ...(Ǿ)} = ᶜ...(Ø) ᶜ...(Ǿ)

　　11:　{ᶜ...(Ø)a} + {ᶜ...(Ǿ)a} = ᶜ...(Ø) ᶜ...(Ǿ)a

　❸写像の定義

　　01:　ƒ (0) = n

　　02:　ƒ (a) = 𝐒𝐮𝐦{n}

　　　々:　ᶜ... 𝐒𝐮𝐦{0} = ᶜ... 0

　　　々:　ᶜ... 𝐒𝐮𝐦{𝑒} = ᶜ...(a-1)𝐒𝐮𝐦{𝑒-1}

　　03:　ƒ (0[0/0]0) = (n)

　　03:　ƒ (0[H]0[X]…0) =φ(0[H]0[X]…0)

　　　 3-1:　φ(0[0/0/0/…0]0[X]…0) = (0[𝐍𝐞𝐬𝐭{n}/0/…0]0[X]…0)

　　　　々:　𝐍𝐞𝐬𝐭{0} = 0

　　　　々:　𝐍𝐞𝐬𝐭{𝑒} = (0[𝐍𝐞𝐬𝐭{𝑒-1}/0/…0]0[X]…0)

　　　 3-2:　φ(0[…B/C/0/…0]0[X]…0) = (0[…B/ ƒ {C ; n}/0/…0]0[X]…0)

　　　 3-3:　φ(0[…B/A/0/…0]0[X]…0) = (0[…B/ A-1/𝐍𝐞𝐬𝐭{n}/…0]0[X]…0)

　　　　々:　𝐍𝐞𝐬𝐭{0} = 0

　　　　々:　𝐍𝐞𝐬𝐭{𝑒} = (0[…B/ A-1/𝐍𝐞𝐬𝐭{𝑒-1}/…0]0[X]…0)

　　　 3-4:　φ(0[…B/C]0[X]…0) = (0[…B/ ƒ {C ; n}]0[X]…0)

　　　 3-5:　φ(0[…B/A]0[X]…0) = (𝐂𝐥𝐮𝐬𝐭{𝑒}[X]…0)

　　　　々:　𝐂𝐥𝐮𝐬𝐭{0} = 0

　　　　々:　𝐂𝐥𝐮𝐬𝐭{𝑒} = 𝐂𝐥𝐮𝐬𝐭{𝑒-1}[…B/A-1]0

　　04:　ƒ (0[0/0]0[X]0[X]…0) = (𝐍𝐞𝐬𝐭{n}[X]0[X]…0)

　　　々:　𝐍𝐞𝐬𝐭{0} = 0

　　　々:　𝐍𝐞𝐬𝐭{𝑒} = (𝐍𝐞𝐬𝐭{𝑒-1}[X]0[X]…0)

　　05:　ƒ (…B[X]C[X]0[X]…0) = (…B[X] ƒ {C ; n}[X]0[X]…0)

　　06:　ƒ (…B[X]A[X]0[X]…0) = (…B[X]A-1[X]𝐍𝐞𝐬𝐭{n}[X]…0)

　　　々:　𝐍𝐞𝐬𝐭{0} = 0

　　　々:　𝐍𝐞𝐬𝐭{𝑒} = (…B[X]A-1[X]𝐍𝐞𝐬𝐭{𝑒-1}[X]0[X]…0)

　　07:　ƒ (…B[X]B[X]C) = (…B[X]B[X] ƒ {C ; n})

　　08:　ƒ (…B[X]B[X]A) = 𝐒𝐮𝐦{n}

　　　々:　ᶜ... 𝐒𝐮𝐦{0} = ᶜ... 0

　　　々:　ᶜ... 𝐒𝐮𝐦{𝑒} = ᶜ... (…B[X]B[X]A-1)𝐒𝐮𝐦{𝑒-1}

　　09:　φ {οᵩ } = (0[𝐂𝐥𝐮𝐬𝐭{n}/0]0)

　　　　々:　𝐂𝐥𝐮𝐬𝐭{0} = 0

　　　　々:　𝐂𝐥𝐮𝐬𝐭{𝑒} = 𝐂𝐥𝐮𝐬𝐭{𝑒-1}/0

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　■　急増加関数　■

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　𝑭 m {n}　：急増加関数

　m　：「みくみく順序数」として許容される任意の文字列。

　a　：１以上の整数

　ⁿ　：「n」

　C　：「ᶜ...(Ø)」

　ƒ {□ ; n}　：「□」について急増加関数「𝑭 m {n}」の「n」を参照して「はちゅね階層の計算規則」を適用する。

　としたとき、急増加関数「𝑭」の計算規則および、それに伴う写像「𝐍𝐞𝐬𝐭」を以下に定める。

　　01:　𝑭 0 {n} = n+1

　　02:　𝑭 a {n} = 𝑭ⁿ a-1{n}

　　03:　𝑭 ᶜ...(Ø)a {n} = 𝑭ⁿ {ᶜ...(Ø)a}-1{n}

　　04:　𝑭ʰ m {n} = 𝐍𝐞𝐬𝐭[ʰ]

　　　々:　𝐍𝐞𝐬𝐭{0} = n

　　　々:　𝐍𝐞𝐬𝐭{𝑒} = 𝑭 m {𝐍𝐞𝐬𝐭{𝑒-1}}

　　05:　𝑭 C {n} = 𝑭 ƒ { C ; n} {n}

　　06:　𝑭 οᵩ {n} = 𝑭 ƒ {οᵩ ; n} {n}

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　■　 みくみく数 Vol.6　 ■

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　■みくみく数 Vol.6（Miku Miku Ordinal Act.1.7 Ver）

　𝑭³⁹ οᵩ {39}