数秘術師アレイスターの個人授業

第一時限 魔術師と半群《セミ・グループ》

「『高等魔術師（プロフェッサー）』アレイスター先生。我々はなぜ数学（マテマティカ）を学ぶのでしょうか」

　数式（スペル）に基いた魔力操作（デフォーメーション）で超自然現象を引き起こす『数秘術（ニューメロロジー）』。その根源をなす理論が数学（マテマティカ）である。数秘術（ニューメロロジー）を専攻する『見習い魔術師（ヴァレット）』である私にとって、それは最も愚かな発問であると同時に、最も重要な発問でもあった。

「それは、数学（マテマティカ）こそすべての原理だからよ、スー」

　アレイスター先生はもう何年も前から答えを用意していたかのようにきっぱりと答えた。この人はいつもこうだ。答えられることには、まるで作りおきの果実飲料でも出すみたいにすんなり答えが出てくるし、答えられないことは曖昧な助言すらしない。一か。ゼロ。まるでこの人そのものが数秘術のようだ。

「魔法工学（エンジニアリング）という分野（フィールド）もあるにせよ、我々の目的はそのような目先の利益にはないわ。我々の努力が意味を成すまでには、大変な時間が掛かるの。我々が寿命を全うしたあとも、何百世代にもわたって研究は続くでしょう。そして、いずれ現れるであろう一人の天才が世界の根源（ファンダメント）へ到達し、その成果を持ち帰るための礎となるために、我々は今、数学を研究するのよ」

　大統一魔術理論（グランド・ファンダメント）。それがすべての純粋魔術師が共有する魔術という体系の真なる目的である。すなわち、この世すべての発生と過程を理解し、すべての未来を見通すことで、森羅万象を把握することだ。それはたかが人間ごときが神と同じ視線に這い上がる聖域への冒涜であり、神によって閉ざされたこの世界の扉をこじ開ける鍵でもある。

　『我々が寿命を全うしたあとも』などといういうわりに、その『計算魔（カルキュレータ）』アレイスター先生の容姿はもう五十年ほど前から変わっていないという。学生のような瑞々しさは失われ目元に浅い皺を刻み、そろそろ中年と呼ばれるあたりの顔つきだが、別の老教授が言うにはむしろ少し若返っている感じすらあるそうだ。魔術師にはそのような不思議な風体の者は少なくないが、この魔術師もまたそういった世の中の理（ことわり）の外にいる存在であった。現世での生命を限りなく引き伸ばし薄めることで、この長い寿命を保っているというのだ。

　快楽、幸福、充足感、そういったものを数百分の一にする代わりに、生命を数百倍に伸ばしているということらしい。何を食べても美味しいと感じないし、何をやり遂げても達成感はない。どんな音楽も小説もこの魔術師を楽しませることはなく、ましてや恋の喜びと悲しみなどというものとは全くの無縁である。配偶者はもとよりいないし、親兄弟や幼なじみの友人さえ、とうにこの世を去っているという。時間に置き去りにされた者の手の中に最後に残るのは、数だけというわけである。

　アレイスターは時折にこりと笑って見せるが、それは喜びや可笑しみの表現ではなく、現在の立場（ポジション）を守るための処世術の一環にすぎないという。それならばこの老魔術師を数秘術（ニューメロロジー）に駆り立てるものが何なのか、それはこの魔術師自身しか知らなかった。

「それで、今日は何を学ぶのですか」

「世界の構造（ストラクチャー）というものよ。魔法幼学校（エレメンタリ）では、数の種類としてどんなものを習ったか覚えているかしら

「ええと、自然数（ナチュラル）、整数（インテジャー）、実数（リアル）、複素数（コンプレックス）でしたっけ」

　私は魔法幼学校（エレメンタリ）での講義を思い出しながら言った。魔法幼学校（エレメンタリ）では特別優秀というわけではなかったが、それくらいの基本的な知識は問題なく身につけているはずだ。

「そうね。しかしもっと高度な数学になると、扱う対象は数以外のものにも及ぶわ」

「え？複素数（コンプレックス）よりもっとすごいものがあるのですか？」

「すごい、かどうか別として、あなたもすでに幾つか知っているはずよ。たとえば、向量（ヴェクター）、行列（マトリクス）、集合（セット）」

「確かに、向量（ヴェクター）はまるで数のように足したり引いたりできますね」

「そこで、これらの対象を別々に研究するのではなく、それらの共通点に注目していくのが代数的構造（ストラクチャー）というものよ。さて、この高等魔法学校（ハイスクール）に備え付けられた黒板は今ひとつでね、数秘術式（エクスプレッション）を書くにはちと頼りないんだけどね」

　そう言って、アレイスターは次のように書いてみせた。

　　　　(a + b) + c = a + (b + c)

「足し算（アディション）？結合法則（アソシエイティヴィティ）？」

「ええ、足し算（アディション）ね。変数（ヴァリアブル）の扱いは大丈夫かしら。たとえば、代入魔法（アサインメント）を使うとこうなるわね」

　　　　(1 + 2) + 3 = 1 + (2 + 3)

「変数（ヴァリアブル）aに1を、bに2を、というように代入（アサインメント）したわけですね」

「この＋（プラス）は、ただの数の足し算（アディション）を表すこともあるけど、それ以外のものを示すこともあるわ。さっき言ったでしょう？高等魔法学校（ハイスクール）では数（ナンバー）以外のものも扱うって。たとえばこんなのはどうかしら」

　　({1, 2, 3} + {4, 5}) + {6} = {1, 2, 3} + ({4, 5} + {6})

「集合論（セット）ですね。たしかに、＋を和集合（ユニオン）だと考えれば上の術式（エクスプレッション）は成り立ちますね。しかし、幼学校（エレメンタリ）では集合の和は＋ではなく∪という演算子（オペレータ）で表したと思いますが」

「ここでは記号が何かは問題ではないのよ、スー。これを表すのに別の記号（シンボル）を使っても構わないの。重要なのは、数の加算も、向量（ヴェクター）の加算も、集合の和も、結合法則（アソシエイティヴィティ）という共通した性質を持っているということなの。たとえば、こんな例だってあるわ」

　そういうと、アレイスター先生は次のような式を書き始めた。たしか、私も外国語の授業で習ったことがある文字だ。

　　("色は" + "匂えど") + "散りぬるを" = "色は" + ("匂えど" + "散りぬるを")

「これも数学（マテマティカ）なんですか？まるで古典文学（リテラチャー）ですが」

「ちゃんと公理を定めて曖昧さなく扱えれば、たとえこんな文字の操作でも数学の対象よ。この場合、演算子（オペレータ）＋は数の加算を表しているわけじゃない。文字列どうしの連結を意味しているの」

　アレイスター先生は、黒板に式を書き足してゆく。

　　　("色は" + "匂えど") + "散りぬるを"

　　＝ "色は匂えど" + "散りぬるを"　

　　＝ "色は匂えど散りぬるを"　

　　　"色は" + ("匂えど" + "散りぬるを")

　　＝"色は" + "匂えど散りぬるを"

　　＝"色は匂えど散りぬるを"

「これで、文字列が計算の対象でも、さっきの式のような結合法則が成り立つことがわかったでしょう。こんなふうに、結合法則（アソシエイティヴィティ）を満たす数学的対象と演算子の組み合わせはいろいろあるのよ」

　まさか数学の授業で古典文学が出てくるとは。もっとも、これはどんな文字列にでも言えることだ。数学が扱う対象は、まさしくこの世のすべてに及ぶ。

「そして、この結合法則（アソシエイティヴィティ）を満たすような数学的対象（オブジェクト）と演算（オペレーション）の組み合わせを、『半群（セミ・グループ）』というの」

　『半群（セミ・グループ）』。幼学校（エレメンタリ）で私たちが結合法則（アソシエイティヴィティ）と呼んでいた概念は、こうして数学世界全体の巨大な構造（ストラクチャー）の一部として組み込まれた。

「これは普段は数や向量（ヴェクター）といった肉に覆われて見えなくなっている数学世界の骨組み（ストラクチャー）よ。こうやって、数や集合や文字列といったものをバラバラに扱うのではなく、その共通点を探して抽象化（アブストラクト）する。これはまさに数学という学問の基本的な方向性であり、我々の探し求める数学の根源はこの先に存在すると考えられるでしょう。この方向性は究極的には、集合（セット）に理論を集約する伝統的統一魔術理論（トラディショナルセオリ）である公理的集合論（アクシオマティック・セット）を基盤とし、それはいずれ対象（オブジェクト）と射（アロー）に理論を集約する新魔術理論、圏論（カテゴリー）へと昇華するかもしれないわね。しかしそれはずっと先の話になるでしょう。あなたがそれを見届けるかどうかはわからない。スーは自分の生涯を数秘術（ニューメロロジー）に捧げるつもりなのかしら」

「……どうでしょうか」

　私にはまだそれだけの覚悟はない。まだやってみたいことも、行ってみたい場所もあるし、できたら恋のひとつくらい経験してみたい。でも、そうやって個人的な願望を抱く者に、大統一魔術理論（グランド・ファンダメント）への到達など程遠い夢であるのは確かであった。それは、私の眼の前で静かに微笑むアレイスター先生が数秘術にその生命のすべてを捧げながら、未だ根源の片鱗すら掴めていないことからも明らかだった。