最近、妹がグレブナー基底に興味を持ち始めたのだが。

忘却ゲーム-2

『死神同値』

屋敷の園庭。

「はあっ……はあっ……」

群城すずは、門番の1人、風霧濃霧と対峙していた。

風霧の横には、東門門番・音無騒音と、南門門番・光華星晶が気絶して倒れている。

「さすがはー、群城すずさんですねー。門番を２人も倒すとはー」

風霧は鎖鎌を振り回しながら、群城に話しかける。

群城は息を乱すだけで、声を出すことができない。

「でも、そろそろ限界なんじゃないんですかー？その腕の傷も相当深いようですしねー？」

群城の左腕には、伊藤確率から受けた切り傷を隠すための包帯が巻かれていた。

無言の群城に対し、風霧は鎖鎌を回す速度を上げる。

周囲の風が、彼女を中心に渦のように回り始める。

「じゃあ、最期に聞きたいんですけどー、そもそもなんであなたは闘っているんですかー？」

風霧は群城の攻撃範囲に入らないように気をつけながら、そう問いかける。

「だって、あなたの好きな本条圭介は、北条環が好きなわけですよねー？いわゆる自分の恋敵をあなたは助けに来ているわけでー、それって何かメリットあるんですか？」

風の渦は極大値に収束し、庭園の草木が大きく揺れ始める。

いくつかの小枝がパキッと音を立てて、地面に落ちる。

群城は両足で大地を踏みしめて、笑顔で答えた。

「好きなやつの好きなやつは好き、それがアタシの好意（すいい）律だ。」

風霧は少しの間の後、微かに笑い震える。

「ふふっ。なるほどー。じゃあ、好きな人のためにも、ここで死んでくださいねー。ベクトル場→rot（回転）！！！」

高速に回転する鎌が群城の首に目掛けて放たれた。

――ブチッ

刹那、何かが切断された音が庭園に響き渡る。

無惨にも地に横たわるのは、引きちぎられた鎖鎌だった。

「日比高山流、三の型、長蛇（ストリング）」

群城は人差し指と中指を剣のように延ばし、周囲の草木を切断する。

風霧はその姿に動揺して声を荒げる。

「ば、馬鹿な！群城すずは近距離打撃型の数学徒のはず！」

「三の型を出すのは久しぶりだからな。錆びてなくてよかったぜ。」

「ふ、ふざけるのもいい加減にしなさい！」

「お前の鎖鎌はもう壊れた。もう投降しろ。中距離攻撃のできないお前にもう勝ち目はない。」

「まさか……最初から鎖鎌の破壊を狙ってて……！！」

綺麗に両断された鎖を見て、風霧は呆然とする。

完全に形勢逆転した状況。

彼女はもう頭を抱えるしかなかった。

「しまった……こんなはずでは……どう竹内様に報告すれば……ああ……どうしよう…どうしよう…どうしよう」

戦意を失いぶつぶつと独りごつ風霧を余所目に、群城は屋敷の中に進もうとする。

「さて、圭介と環奈ちゃんはどうなっているかな。」

群城が近くを通っても、まだ彼女の独り言は続く。

「どうしよう…どうしよう…どうしよう…どうしよう…どうしよう…どうしよう…どうしよう……もう…………こうしよう」

風霧はポケットから、「A」と刻まれた錠剤を取り出すと、口の中でゆっくりと咀嚼した。

次の瞬間、群城の背中に得体の知れない数力（スーラ）が纏わりつく。

「群城サン！危ナイです！」

スパッと切れた群城の毛髪が、宙を浮遊する。

杉浦の叫びに、間一髪、彼女は斬撃を避けることに成功した。

目の前には、さっき倒したはずの風霧が、大きな鎌を持って立っていた。

「なんだ……こいつの数力（スーラ）は……。さっきより上昇している……？」

「群城サン、下がっててくだサイ。ここはワタシが対応しマス。」

「杉裏……お前、いたのか！？」

「ずっといましタヨ！？」

群城のボケにも冷静に対応する杉浦。

「とにかく……今の風霧さんは高層レベルの数力（スーラ）を有してイマス。」

豹変した敵の姿に対し、そう説明を加える。

彼が眼鏡を外すと、青い瞳が日の下に露わになった。

「ゔぉおおおおおおお！！！！！」

獣のように叫びながら、突進してくる風霧。

杉浦は侮蔑の眼差しを向けて、小さくつぶやいた。

「数圧解放（プレス・リリース）：至所微分不能連続関数（ブラマンジェ）」

杉浦の体から、無数の黒いナイフが放たれる。

その斬撃は、風霧の体の至る所の滑らかな点を、微分不可能にしていく。

肉体的にも数学的にも、行動不能になった彼女は、その場で倒れて動かなくなった。

群城はその光景を唖然と眺めるだけだった。

「杉裏……お前、こんなに強かったのか……！？」

「数圧解放（プレス・リリース）くらい、高層なら誰でも使えマスよ。」

「プレス・リリース……？」

「時間制限付きで、数力を極限まで高める奥義のことデス。そんなことより、この風霧濃霧、『アルキメデス』を持っているトハ。」

「アルキメデス……だと？」

初めて聞く言葉に、疑問符を浮かべる群城。

杉浦は風霧のポケットから錠剤の殻を取り出して、言った。

「高層第一位『色中英佑』の開発した、悪魔の薬デスヨ。」

***

和室。

俺は竹内層から、ゲームの説明を受けていた。

「本条はんはババ抜きって、もちろんご存知やろ？」

薄ら笑いを浮かべながら、竹内は俺に問いかける。

俺は何か気に食わない感情を抱きながら、奴に返答する。

「ああ、ババ抜きって、トランプのゲームだろ？ペアが揃ったら捨てていって、最期にジョーカー持っていたら負けっていう。」

「その通りや。この『死神同値』の基本ルールも同じ感じや。互いに相手からカードを１枚引いていき、ペアができたら場に捨てる。」

「……でも、このトランプには絵柄も数字も書いてないじゃないか。」

「死神同値では、数字や絵柄の代わりに『数学の条件』を使うんや。」

条件……だと？

どういうことだ……？

「同値な条件ってあるやろ？例えば、自然数nが偶数であることと、nの１桁目が偶数、これは同値や。」

竹内は2枚のカードの空欄に、それぞれペンで文章を書き始める。

カード1:"自然数n: nは偶数"

カード2:"自然数n: nの1桁目は偶数"

「この２枚のカードは同値であるから、ペアとして捨てられるんや。一方、」

カード3:"自然数n: nは3の倍数"

「というカードがもしあったなら、」

カード1:"自然数n: nは偶数"

カード3:"自然数n: nは3の倍数"

「は同値ではないから、ペアにはならへん。」

「……なるほど、条件のペアっていうのはそういうことか。」

「理解が早くて助かるわ。ここに合計20枚のカードがある。本条はんと、うちでそれぞれ10枚ずつ、つまりそれぞれ『同値なペア』を5組作るんや。それらのカードを使ってババ抜きをしてくんや。」

なるほど、要は普通のババ抜きの数学版ってところか。

いかにも数学徒が考えそうな、いやらしいゲームだ。

……ん、待てよ？

「それだと、ジョーカーがないじゃないか。」

「さすがは本条はん、いいところに気づきますわな。ジョーカーを作るために、２０枚の中からランダムに１枚抜いて、１９枚にするんや。これなら、１組揃わなくなって、ジョーカーが１枚できる。」

「いわゆる"ジジ抜き"のルールみたいなものか。」

「まあ、そう考えてもらってよろし。」

竹内は、２０枚のトランプの半分とペンを俺に渡した。

「それじゃあ、早速始めるんやけど、その前に審判を呼んでおきましょう。『注目』、出てきいや。」

竹内が２回手を叩くと、座敷の奥から、松葉杖をついた１人の男が入ってくる。

男の片腕と片足には分厚いギブスが巻かれている。

「……どうも、平等院注目です。以後、よろしく。」

平等院注目と名乗るその男からは、どこかふてぶてしさを感じる。

平等院？ということは、こいつも数戟管理委員会のメンバーなのか…？

命題に、補題に、注目……こいつらの名前は論文の出てくる名称みたいな縛りがあるのか？

つーか、そんなことより怪我しすぎだろ。

「注目には、これから死神同値の審判をして欲しいんや。」

「……了解です。この私めが、傲慢に、怠惰に、強欲に仕切らせてもらいます。」

やる気があるのかないのか、よく分からない態度で注目は発言する。

平等院命題とも、平等院補題ともまた違ったタイプのやつらしい。

その姿に違和感を持ちながらも、俺はあることを思い出す。

「あ、待ってくれ！俺は東数の会員権を剥奪されてるんだぞ！数戟は出来ないはずだ。」

「公式には、な？これはただの、うちらだけの遊び。本条はんもできるんや。」

「なんだと？じゃあ、何で数戟管理委員がここにいるんだ？」

「注目は、うちの専属の管理委員やからね。知っての通り、高層には１人１人に専属の管理委員が付くんや。」

そんなの初耳だったぞ。

でも言われてみれば、平等院命題も導来圏の専属だったのかもしれない。

「……だるんいんで、そろそろ初めていいでしょうか。」

注目は寝癖のついた頭をボリボリと掻きながら言う。

全然やる気ないな！こいつ！

「勝負の前に、ルールと賭けるものの確認ですが、こちらでよろしいですか？」

平等院注目が合図を出すと、奥の間から黒子がホワイトボードを持ってくる。

そこには、細かいルールが書かれていた。

****************************

ゲーム「死神同値」

ルール：

・プレイヤーはそれぞれ10枚のカードに条件を書く。その時、同値なペアが５組作れるようにする。

・２０枚のカードから無作為にカードを１枚選び、除外する。この時、除外したカードはプレイヤーには分からないようにする。

・手札に同値な条件があったら、場に捨てられる。もし同値ではない２つの条件を捨てた場合、敗北する。

・先攻・後攻はコインによって決める。

・先攻はランダムな９枚、後攻はランダムな１０枚の手札からスタートする。

・先攻から交互に相手のカードを１枚選び、自分の手札に加える。

勝利条件：自分の手札が０枚になったら勝利。

報酬：

竹内層：本条圭介の記憶

本条圭介：北条環および本条環奈の身柄。

****************************

いつの間にこんなの用意してるなんて、手際よすぎだろ。

実は仕事できるタイプか？

「……本条様、どうでしょうか？」

「ちょっと待ってくれ、今確認してる。」

「……竹内様はどうでしょうか？」

「うちはこれで問題ありまへん。」

うーん……さっきも言ったように、ルールの根本は普通のババ抜きだ。

カードを公開する以上、不正をする余地もない。

変なルールも見当たらない。

「俺も大丈夫だ。」

「……それでは、これより非公式数戟『死神同値』を開始いたします。それぞれ１０枚のカードに条件を書き込んで、同値なペアを１０個作ってください。制限時間は２０分です。」

覗き見防止の衝立の裏で、俺は思考を始める。

相手は高層の第４位だ。

舐めてかかって勝てる相手じゃない。

ここは最初から全力でいく。

「数楽者（イマジン・ラヴァー）、戦闘体勢（アクティバス）」

俺は静かに目を閉じた。ドクドクと、心臓の鼓動が頭の中で反響する。

全身の血が激しく流れ、脳髄を満たしていく。

目の裏の映像が高速に移り変わっていくと、どこからか声が聞こえ始めた。

「お兄ちゃん！また会えたね？やったー！」

目を開けると、そこにはふわふわと宙を浮いている妹の姿。

いや、妹の姿をした"何か"だ。

「また世話になる。助けてくれ。」

「嬉しいなあー！お兄ちゃんも嬉しい？お兄ちゃんだーいすき！」

「お兄ちゃんはやめろ。俺はお前の兄じゃない。」

「そんなこと言わないでよー！それに、お前じゃなくて、私は『反転環奈』。略して、ハンナちゃんって、呼んでいいんだよ？」

きゅぴーん✨みたいな顔をして、反転環奈は俺の方を向いてくる。

簡単に言うと、ハンナは俺の無意識を具現化した存在だ。

俺にしか見えておらず、会話も他には聞こえない。

「反転環奈、お前なら、この状況どう思う？」

「ハンナって呼んでよー！もう！」

反転環奈は、ぷんぷんと頬を膨らませながら、クラゲのように空中をぐるぐると泳ぐ。

このまま何もしなかったら時間の無駄だ。

仕方ないか。

「……ハンナ、どう思う？」

「やったあ！」

大袈裟に喜ぶハンナ。俺は無視して質問に答えるように促す。

ハンナは熟慮の後に返答した。

「……うーん、竹うっちーだっけ？何か企んでいると思うよね。そもそも数戟を持ちかけてきた時点でめっちゃ怪しいし、何かしらの勝算はあると思うよ？私があいつの心の中に入って読んでこようか？」

「いや、いい。今の情報の量では、相手の心を読み切れない。心を読むと言っても、俺の無意識の主観から想像するだけだしな。」

「りょーかい！」

「今は、自分の手札をどうするか考えよう。」

俺は自分の手持ちのカードを見つめる。

この死神同値、２０枚のカードのうち、半分のカードは自分が作るから、その同値判定は当然できる。

問題なのは、相手が作ったカードだ。

「つまり、相手が同値か分からないカードを作ることが大事ってことだよねー？お兄ちゃん？」

「ああ、そうだな。」

「じゃあ、お兄ちゃんの得意なグレブナー基底に関する条件をたくさん作ればいいんじゃない？竹うっちーの専門は圏論なんだし、グレブナー基底は分からないっしょ。」

「確かにな。」

ハンナの言うことは一理ある。

……でも得体の知らない不安を心の奥で感じるのは、なぜなんだ。

「グレブナー基底関連で同値な条件はないの？」

「うーん、そうだなあ……。あ、例えば、グレブナー基底であることの同値条件は有名だな。」

Gが空ではない多項式の有限集合の時、次の条件は同値。

条件1: "G が > に関して I のグレブナー基底"

条件2: "G の各ペア f_i, f_j に対し、S(f_i,f_j)を f_1,...,f_k で、>に関して割った時の余りは 0"

「おー、なんか難しいね。」

「簡単に説明すると、与えられた多項式の集合がグレブナー基底か判定できるすごい方法なんだ。ブッフベルガーの判定法とも呼ばれる。」

「あ、反転じゃない環奈に説明してたやつだね。」

「そう。反転じゃない環奈って、普通の環奈な気がするが。」

「じゃあ、この条件をカードに書けば、１つペアが作れるってわけだね。」

時間もないので、俺はカードに条件を書き込む。

「他には、何があるの？お兄ちゃん？」

「そうだなあ……。単項式順序の必要条件とかもあるな。」

>を単項式の間の順序とする時、次の条件は同値。

条件3: ">は単項式順序。つまり、次の条件をすべて満たす。

(i). >は全順序である.

(ii). 任意の単項式 x^a, x^b, x^c に対し、x^a>x^b ならば、x^a x^c > x^b x^c.

(iii). >は整列順序である."

条件4: ">は次の条件をすべて満たす。

(i). >は全順序である.

(ii). 任意の単項式 x^a, x^b, x^c に対し、x^a>x^b ならば、x^a x^c > x^b x^c.

(iii). >に関する最小値は1"

「これまた難しそうな……。」

「単項式順序は知っているか？」

「えーと、x^2>yとか、単項式の間の順序だっけ？」

「そう。単項式順序の例として、辞書式順序などがある。単項式順序は上の条件(iii)にも挙げている次の条件を満たすものだ。」

（条件3）

(i). >は全順序である.

(ii). 任意の単項式 x^a, x^b, x^c に対し、x^a>x^b ならば、x^a x^c > x^b x^c.

(iii). >は整列順序である.

「確かいい感じに割り算ができる順序って、お兄ちゃんは言ってたよね？反転じゃない環奈に。」

「そうそう。それで、実はこの(iii)の『整列順序』というのは、次の条件に置き換えることができるんだ。」

(iii). >に関する最小値は1

「最小値が1……？」

「ああ、つまり、1以外のどんな単項式x^aをとってきても、1の方が小さい（x^a>1）ってことだ。」

「なるほどー？なんか整列順序よりは分かりやすい気がする。」

「その(iii)だけを置き換えたのが、条件4ってわけだ。」

（条件4）

(i). >は全順序である.

(ii). 任意の単項式 x^a, x^b, x^c に対し、x^a>x^b ならば、x^a x^c > x^b x^c.

(iii). >に関する最小値は1

「もへー。なんだかよく分からないけど、単項式順序にも色々表し方があるんだね？」

「そうだな。同値な条件を見つけるメリットというのは、『状況に応じて使いやすい形』で利用できる点がある。数学では条件を同値変形していって、証明するのはよくある方法だな。上の例だと、整列順序を示すより、最小値が1であることを示す方が楽な場合が多いから、そっちを使った方がいいかもねってことだ。」

「もへもへー。じゃあ、これもカードに書けるね！」

そうだなと、俺は上の２つの条件をカードに記した。

これで２ペアできた。

残りは３ペアだ。

「んー……」

ハンナが眉間に皺を寄せて、難しい顔をしている。

「どうした？」

「お兄ちゃん、これ思ったんだけどさぁ？このままじゃ、バレバレじゃない？」

ハンナは４枚のカードを指差して言う。

「バレバレ？」

「うん、だって、４つの条件」

条件1: "G が > に関して I のグレブナー基底"

条件2: "G の各ペア f_i, f_j に対し、S(f_i,f_j)を f_1,...,f_k で、>に関して割った時の余りは 0"

条件3: ">は単項式順序。つまり、次の条件をすべて満たす。

(i). >は全順序である.

(ii). 任意の単項式 x^a, x^b, x^c に対し、x^a>x^b ならば、x^a x^c > x^b x^c.

(iii). >は整列順序である."

条件4: ">は次の条件をすべて満たす。

(i). >は全順序である.

(ii). 任意の単項式 x^a, x^b, x^c に対し、x^a>x^b ならば、x^a x^c > x^b x^c.

(iii). >に関する最小値は1"

「が、それぞれペアなんでしょ？でも、条件1と条件3は、Gと>でそもそも対象が違うんだから、同値じゃないのはバレバレじゃない？」

……確かに。言われてみれば、それはそうだ。

バラバラにペアを作っても、相手にすぐ分かってしまっては意味はない。

作るならば、対象は同じで、同値かどうか悩むペアを複数作った方が良い。

「……本条様、残り時間５分となりましたので、急いだ方がよろしいかと。」

平等院注目に話しかけられ、我に返る。

いつの間にか結構時間が経ってしまったようだ。

このままではまずい、とにかくペアを作らなければ……。

俺は急いでペンを走らせる。

残酷にも時間は矢の如く去っていく。

「……それではタイプアップです。お互い１０枚のカードを渡してください。」

俺と竹内は注目に自分のカードを預ける。

「……十分シャッフルされたので、ここから１枚除外します。」

そう言って注目はカードの山の1番上を、裏返しのまま場に伏せた。

そのカードのペアの相手が、この死神同値の「ジョーカー」となるわけだ。

「……では、次に先攻と後攻を決めるコイントスです。表だったら竹内様、裏だったら本条様が先攻です。」

宙に高く上がるコイン。

落下するコインを注目は勢いよく松葉杖で抑えた。

「……コインは裏。すなわち、本条様の先攻で開始します。」

……よし、先攻が有利のはず。まずは順調のようだ。

９枚の手札が手元に配られる。

この時、俺はまだ知らなかった。

既に竹内層の術中に嵌まっていたことに。