巨大数で遊ぼう！ ～Second season～

第２話 第４回東方巨大数参加作品

　２０１８年９月１３日、某所──

十：──この「みくみく順序数Act.3.7.P」の付録に拡張のアイデ

　　アが書かれてあって、例えば(3,Pᵪ¹,3)という表記で到達でき

　　ない最小の表記を(3,3₃,3)のように「下付き文字」を導入し

　　て表記して、この「下付き文字」に「みくみく順序数」を使

　　うという事らしいのだけれど...　これって、実質的には「新

　　しい記号の導入」になってしまっているのよ...

霧：「下付き文字」を「新しい記号」と見なすかどうかは人によ

　　ると思うけど...

十：私はそう感じたわ...　だから「下付き文字」を使わない拡張

　　を考えてみたの...

霧：興味深いね。

十：まず、素数を「巨大数庭園数よりも小さな数」と「巨大数庭

　　園数よりも大きな数」に分けるの──

霧：ちょっと待ってくれ...

十：──ん？

霧：巨大数庭園数を使うと巨大数庭園数になってしまわないか？

十：巨大数庭園数の大きさそのものは、この拡張の強さとは関係

　　ないわ...　任意の計算可能関数で物理的に表記不可能なほど

　　大きな数なら何でもいいのよ...

霧：いいよ...　続けて...

十：要は、𝑭 ο_ω ⟮n⟯ について、この実世界で可能な限り、例え

　　ば𝑭 ο_ω ⟮𝑭 ο_ω ⟮𝑭 ο_ω ⟮...⟯⟯⟯ みたいにくり返しても、巨

　　大数庭園数には全く届かないわけだから、実質的に「巨大数

　　庭園数ほど大きな素数」がこの演算の中で現れることはない

　　のよ──

霧：まあ、そう推定できるな...

十：──ということは、素数を「巨大数庭園数よりも小さな素

　　数」と「巨大数庭園数よりも大きな素数」に分けても、実質

　　的には問題が起きない...　ただ、表記する方法が無いのよ

　　ね...

霧：巨大数庭園数よりも大きな素数だもんな...

十：だから「巨大数庭園数よりも大きな素数」を「3₀」ろ表記し

　　ようと思うの──

霧：ちょっと待ってくれ...　それは「下付き文字」を使うのと同

　　義じゃないのか？

十：そうよ。

霧：そうよって...

十：でも「みくみく順序数Act.3.7.P」の付録の拡張のアイデアと

　　違うのは、まず、私の拡張では「下付き文字」の値が変化す

　　ることは無いのだけれど...　つまり、拡張としてはてんで弱

　　いのだけれど...　でも、表記は不可能だけれど、理論的には

　　「下付き文字」を使わない表現に変換できるということな

　　の...　もちろん、理論的に考えると𝑭 ο_ω ⟮n⟯にはいくらで

　　も大きな数を入力できるから、入力できる上限値が発生して

　　しまうのだけれど...

霧：上限値はどうするんだ？

十：任意の計算可能関数で物理的に表記不可能なほど大きな数

　　で、巨大数庭園数よりも本質的に小さな数ならば何でもいい

　　のだけれど...　でも「3₀」という表記なら、そもそも問題が

　　起きないわ...　ただの「下付き文字を使った拡張」だから...

霧：ちょっと待ってくれ...　では「巨大数庭園数」の意味は？

十：「下付き文字を使わない表記に変換できる」ということ...　

　　その場合、急増加関数への入力には上限が出来て、かつ、実

　　質的に表記が不可能になるけど...

霧：ちょっと待ってくれ...　では、何の価値が...

十：ただのロマンよ。

霧：ロマン...

　🔷ω番地数列の拡張

　　🔶P₂¹　☞　３

　　🔶Pᵪ¹　☞　巨大数庭園数よりも小さな素数

　　🔶𝐏₂¹　☞　巨大数庭園数よりも大きな最小の素数

　　🔶𝐏ᵪ¹　☞　巨大数庭園数よりも大きな素数

　🔷拡張表記

　　🔶𝐏₂¹ > Pᵪʷ

　　🔶𝐏ᵪʷ = Pᵪʷ₀ = □₀　□は自然数

　🔷上書きする記号

　　🔶z　☞　Pᵪ¹または𝐏ᵪ¹とする。　

　　🔶a　☞　𝐏ᵪʷ と𝓒...(Ø)𝐏ᵪʷを追加する。

　　🔶Z　☞　Pᵪ₊₁¹または𝐏ᵪ₊₁¹とする。

　　🔶A　☞　𝐏ᵪʷ と𝓒...(Ø)𝐏ᵪʷを追加する。

　🔷追加する記号

　　🔶Ͳ　☞　zを𝐏ᵪ¹としたときの𝐏ᵪ₊₁₊ᵨ¹

　　・この記号のある計算規則のzは𝐏ᵪ¹です。

　　・この記号のある計算規則のaは𝐏ᵪʷまたは𝓒...(Ø)𝐏ᵪʷです。　ｗ≧２　

　　・この記号のある計算規則の…bは𝐏ᵪʷまたは𝓒...(Ø)𝐏ᵪʷまたは𝓒...(Ø)𝐏ᵪ¹です。　ｗ≧２　

　　🔶ϡ　☞　𝐏₂¹

　　・この記号のある計算規則のzはP₂¹です。

　　・この記号のある計算規則のaはP₂ʷまたは𝓒...(Ø)P₂ʷです。　ｗ≧２　

　　・この記号のある計算規則の…bはP₂ʷまたは𝓒...(Ø)P₂ʷまたは𝓒...(Ø)P₂¹ です。　ｗ≧２

　　🔶ᵪ₀ᵀᵒᵖ　☞　Ͳを𝐏ᵪ¹としたときのᵪです。

　　🔶ᵪ₀ᴮᵒᵗᵗᵒᵐ　☞　zを𝐏ᵪ¹としたときのᵪです。

　　🔶…₈Δ　☞　０個以上の項が続きます。０個ではない場合は、２個以上の項が続きます。ただし…₈Δのある項を第𝑒項としたとき第𝑒項にある数はͲまたはϡより𝐏ᵪ²以上大きいです。

　　🔶₈Δ　☞　同じ計算規則番号の…₈Δと同じ文字列です。

　🔷追加する計算規則　加算

　　🔶「みくみく順序数の計算規則」の「加算の定義」にあるPの文字を含む定義のPを𝐏に置き換えたものを追加します。

　🔷追加する計算規則　写像

　　🔶01:　ƒ (𝐏ᵪ¹) = 𝐏ᵪ ⁿ⁺¹

　　🔶02:　ƒ (𝐏ᵪ¹,𝐏ᵪ¹) = (𝐏ᵪ ⁿ⁺¹)

　　🔶03:　ƒ (…₀Δ,a) = 𝐒𝐮𝐦[n]

　　　🔶　𝐒𝐮𝐦[0] = 𝐏ᵪ¹　

　　　🔶　𝐒𝐮𝐦[𝑒] = (₀Δ,a-1)𝐒𝐮𝐦[𝑒-1]

　　　🔶　aが𝐏ᵪʷまたは𝓒...(Ø)𝐏ᵪʷの場合のみ。　　　

　　🔶04:　ƒ (…₈Δ,z,Ͳ,z) = (₈Δ,z,𝐏𝐇[n],z)

　　　🔶　𝐏𝐇[0] = 𝓟_0

　　　🔶　𝐏𝐇[𝑒] = (𝓟_𝑒,𝐏𝐇[𝑒-1],𝓟_𝑒)

　　　🔶　𝓟_ x : 𝐏₍ᵪ₀ᵀᵒᵖ₋₁₎₊₍₍ₙ₋ₓ₎⊗₍₍ᵪ₀ᵀᵒᵖ₋₁₎₋ᵪ₀ᴮᵒᵗᵗᵒᵐ₎₎¹

　　🔶05:　ƒ (…₂Δ,…b,a,Ͳ,z) = (₂Δ,…b,a-1,Ͳ,z,𝐏𝐇[n],z)

　　　🔶　𝐏𝐇[0] = P_0

　　　🔶　𝐏𝐇[𝑒] = (𝓟_𝑒,𝐏𝐇[𝑒-1],𝓟_𝑒)

　　　🔶　𝓟_ x : 𝐏₍ᵪ₀ᵀᵒᵖ₋₁₎₊₍₍ₙ₋ₓ₎⊗₍₍ᵪ₀ᵀᵒᵖ₋₁₎₋ᵪ₀ᴮᵒᵗᵗᵒᵐ₎₎¹

　　🔶06:　ƒ (…₈Δ,z,Ͳ,z,δ…) = (₈Δ,z,𝐏𝐇[n],z,δ)

　　　🔶:　𝐏𝐇[0] = 𝓟_0

　　　🔶　𝐏𝐇[𝑒] = (𝓟_𝑒,𝐏𝐇[𝑒-1],𝓟_𝑒)

　　　🔶　𝓟_ x : 𝐏₍ᵪ₀ᵀᵒᵖ₋₁₎₊₍₍ₙ₋ₓ₎⊗₍₍ᵪ₀ᵀᵒᵖ₋₁₎₋ᵪ₀ᴮᵒᵗᵗᵒᵐ₎₎¹

　　🔶07:　ƒ (…₂Δ,…b,a,Ͳ,z,δ…) = (₂Δ,…b,a-1,Ͳ,z,𝐏𝐇[n],z,δ)

　　　🔶　𝐏𝐇[0] = 𝓟_0

　　　🔶　𝐏𝐇[𝑒] = (𝓟_𝑒,𝐏𝐇[𝑒-1],𝓟_𝑒)

　　　🔶　𝓟_ x : 𝐏₍ᵪ₀ᵀᵒᵖ₋₁₎₊₍₍ₙ₋ₓ₎⊗₍₍ᵪ₀ᵀᵒᵖ₋₁₎₋ᵪ₀ᴮᵒᵗᵗᵒᵐ₎₎¹

　　🔶08:　ƒ (…₈Δ,z,ϡ,z) = (₈Δ,z,P₍ₙ₊₂₎¹,z)

　　🔶09:　ƒ (…₂Δ,…b,a,ϡ,z) = (₂Δ,…b,a-1,ϡ,z,P₍ₙ₊₂₎¹,z)

　　🔶10:　ƒ (…₈Δ,z,ϡ,z,δ…) = (₈Δ,z,P₍ₙ₊₂₎¹,z,δ)

　　🔶11:　ƒ (…₂Δ,…b,a,ϡ,z,δ…) = (₂Δ,…b,a-1,ϡ,z,P₍ₙ₊₂₎¹,z,δ)

　　🔶12:　ƒ 奇術 = (3,(𝐏₂¹,𝐏₍ₙ₊₂₎¹,𝐏₂¹),3)

　🔷奇術

　　🔶 (3,(𝐏₂¹,𝐏₍ₙ₊₂₎¹,𝐏₂¹),3)で到達できない最小のみくみく順序数を奇術とします。

　🔷巨大数

　　🔶𝑭 ο ⟮n⟯ 　☞　 急増加関数

　　🔶ο　☞　 みくみく順序数 Act.3.7.P　+　奇術

　　🔶n　☞　 非負整数

　　🔶無量大数　☞　『塵劫記』寛永十一年版

　　　のとき、

　　　𝑭 奇術 ⟮ 無量大数 ⟯

　　　を『みくみく奇術数』と命名します。

十：──どうかしら？

霧：どうも私の趣味じゃないね...　やってみていいかい...　巨大

　　数に必要なのは、もっと、わかりやすい大きさなんだよ...

十：──強化が中途半端で、わかりにくくはあるわね...

霧：無量大数を使ったのはいいと思うよ...

十：らしくないじゃない？

霧：──なんのことだ？

十：そこは...　ん、ん、──無量大数を使ったはいいと思うぜ...　

　　じゃないかしら？

霧：私は、アニメキャラかなにかか？

十：いいわ...　流して...

霧：──では、私がお手本を見せよう...　もし、世界の１世紀が

　　無量大数年だったら、もし、世界の１年が無量大数日だった

　　ら、もし、世界の１日が無量大数時間だったら、もし、世界

　　の１時間が無量大数分だったら、もし、世界の１分が無量大

　　数秒だったら...

十：えええ...！？

霧：もし、その世界に生まれたたった１匹の生物が、１秒に１

　　回、無量大数匹に分裂したら。生物が生まれた時を０秒とし

　　て無量大数世紀後には何匹いるのだろう？

十：そういう...

霧：まず、無量大数世紀は何秒か考えてみる...　１分が１０⁶⁸秒

　　だから１時間は１０⁶⁸×１０⁶⁸で{１０⁶⁸}²秒だ...　つまり、

　　１日は１０⁶⁸×１０⁶⁸×１０⁶⁸で{１０⁶⁸}³秒になる...　１年は

　　１０⁶⁸×１０⁶⁸×１０⁶⁸×１０⁶⁸で{１０⁶⁸}⁴秒...　そして１世

　　紀は１０⁶⁸×１０⁶⁸×１０⁶⁸×１０⁶⁸×１０⁶⁸{１０⁶⁸}⁵秒...　

　　無量大数世紀は１０⁶⁸×１０⁶⁸×１０⁶⁸×１０⁶⁸×１０⁶⁸×１

　　０⁶⁸で{１０⁶⁸}⁶秒ということになる。

十：あまり増えなさそうね...

霧：そうなんだ...　次に、ｎ秒後に何匹になるかを考える...　０

　　秒のときは１ 匹だから{１０⁶⁸}⁰匹と記す...　１秒後は１０⁶⁸

　　匹だから{１０⁶⁸}¹匹と記す...　２秒後は１０⁶⁸×１０⁶⁸ 匹だ

　　から{１０⁶⁸}² 匹と記せるよね...　つまり、ｎ秒後は{１０⁶⁸}ⁿ

　　匹と記せる...　ということは、無量大数世紀後には無量大数

　　の無量大数の六乗乗匹となるわけだな...

十：うーん...

霧：これがわかりやすい大きさというやつさ、その弱さが可視化

　　されてはじめて、巨大数と言うのは感じられると思うんだ...　

　　まあ、ロマンだよ...

十：なるほど...

霧：この無量大数の無量大数の六乗乗を「大無量大数」とでも名

　　付けよう...　そして...　大無量大数の大無量大数の六乗乗を

　　「無量大神数」と名付ける、さらに──

　　^ : 指数表記

　　無量大数 : １０^６８

　　大無量大数 : 無量大数 ^ {無量大数 ^６}

　　無量大神数 : 大無量大数 ^ {大無量大数 ^６}

　　全無量大数 : 無量大神数 ^ {無量大神数 ^６}

　　大全無量大数 : 全無量大数 ^ {全無量大数 ^６}

　　全無量大神数 : 大全無量大数 ^ {大全無量大数 ^６}

霧：そして──

　　𝑭 ο_ω +１ ⟮ 全無量大神数 ⟯

霧：──を「霧雨大数」であるとここに命名する！

十：他人の巨大関数に適当な数をぶち込んだだけじゃない！！

霧：なにお！！

十：あなたこそ上から目線で！！

　その後、両者による激しい術の応酬が繰り広げられたという...　勝負は膠着し、和解した。そして合議の結果──

　　𝑭 ο_ω ⟮ 𝑭 ο_ω ⟮ 𝑭 ο_ω ⟮ 𝑭 ο_ω ⟮𝑭 ο_ω ⟮𝑭 ο_ω ⟮ 0 ⟯⟯⟯⟯⟯⟯

　──を、二人は「十六夜の霧雨数」と名付けた。