ゲーデル数の不完全性、ω0、θ0等に関しては以下を参照

ここで、カントールの対角線論法を参照する。

自然数全体の集合ℕから[0, 1]区間(=0以上1以下の実数全体の集合)への全単射が存在しない事を以下のように証明できる。

なお、[0, 1]区間と実数全体の集合ℝは濃度が等しいので、この事実はℕからℝへの全単射が存在しない事を含意する。

さて、仮にℕから[0, 1]区間への全単射φが存在したとし、φ(i)をaiと書く事にする。すると[0, 1]区間の各元をa1,a2,…と番号づけする事ができた事になる。

aiを二進数展開したときのj桁目をai,jとし、biを￢ai,iとする。

そしてbを小数点展開が0.b1b2…となる実数とする。このとき、bはa1,a2,… のいずれとも異なる。実際iを任意に取るとき、aiのi桁目はai,iであるのに対し、bのi桁目は￢ai,iであるので、aiとbは異なる。

仮定より[0, 1]区間の全ての元はa1,a2,…と番号づけされているはずなのに、[0, 1]区間の元であるはずのbはa1,a2,…のいずれとも異なるので、矛盾。従ってℕから[0, 1]区間への全単射は存在しない。

ここで、ℵ₀、ℵ₀（including0）に関して考察する。

両者を比較した場合、0を除き全単射が存在する。そのため、ℵ₀（including0）=ℵ₀+1となる。

ここでカントールの対角線論法より、ℵ＝2^ℵ₀である。

ℵ₀+1と2^ℵ₀を比較する。カントールの対角線論法より、biの集合、｛bi｝の濃度は（b1, b2,…となり）可算集合ℵ₀に等しい。また二進数展開によりbiの取り方はaiの偶奇により2通りある。それらを計算し、bは2^ℵ₀通り、したがってℵ=2^ℵ₀となる。

故に2^ℵ₀＞ℵ₀+1である。

補足：2^ℵ₀は2通りが「無限」に続くことを意味する。（この場合の「無限」はあくまで可算集合における「無限」である。またℵ₀+1は「無限」に「有限」の「1」を加えたものである。（この「1」は先述の通り全単射の存在しないものを扱っている）

したがって2^ℵ₀＞ℵ₀+1であることは自明である。

尚、カントールの対角線論法において

ai,iが偶数の時…biは1

ai,iが奇数の時…biは2

と置くと0はbiにおいて発生せず、この論理において0＝ω０∨θ０の定義はbiには影響しない。

（言い換えれば、0がω0でもθ0でも一般性を失わない）

また、濃度に関してℵ(excluding0)= 2^ℵ₀、ℵ (including0)＝2^ℵ₀+1となる。

いずれにせよ自然数全体の集合の濃度（可算濃度）と実数全体の集合の濃度（連続体濃度）の間の濃度は存在し、連続体仮説は否定される。

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