天国にいけるＣ言語入門 シーズン１ パソコン超初心者がゼロから東方風シューティングをつくる編 ver.0.4.15.789 RELIEF

☆☆２進数同士のかけ算を行ってみよう

　　　　　　　　☆☆２進数同士のかけ算を行ってみよう☆☆

マックス　「よし、よし」

朗らかに微笑むマックス。

マックス　「２進数同士のたし算につづいて

２進数同士のひき算も理解したぁぁぁぁぁ」

老人　「順調じゃのう。マックスよ。」

マックス　「なんか思ったより２進数は素直だな。ははは。

足し算、引き算もふつうにできる・・・

となれば　かけ算　割り算も

普通にかけたり、割ったりできるとみた。

理解できるのは時間の問題だー。

ふふふはぁーっはっはぁー\（＾＾）/」

老人　「わしもここまで簡単とはおもわなんだ。

よかったのう。マックス。これでますます

コンピュータの言葉がわかるようになるぞ。（＾＾）/

わしも元気がでてきたぞい。」

うれしそうに微笑む老人。

マックス　「さあ２進数同士のかけ算　やってみる！

まずは　これこれ👇

２進数と１０進数の対応表を用意する。

人間の世界 の 　　　　コンピュータの世界の

１０進数表示　　　　　２進数表示

0ーーーーーーーーーーーーーーー 0

1ーーーーーーーーーーーーーーー 1

2ーーーーーーーーーーーーーーー １0

3ーーーーーーーーーーーーーーー 11

4 ーーーーーーーーーーーーーーー 100

5 ーーーーーーーーーーーーーーー 101

6 ーーーーーーーーーーーーーーー 110

7 ーーーーーーーーーーーーーーー 111

8ーーーーーーーーーーーーーーー 1000

9 ーーーーーーーーーーーーーーー 1001

10 ーーーーーーーーーーーーーーー 1010

11 ーーーーーーーーーーーーーーー 1011

12 ーーーーーーーーーーーーーーー1100

13 ーーーーーーーーーーーーーーー1101

14 ーーーーーーーーーーーーーーー1110

15 ーーーーーーーーーーーーーーー1111

16 ーーーーーーーーーーーーーーー10000（５桁）

17 ーーーーーーーーーーーーーーー 10001（５桁）

18 ーーーーーーーーーーーーーーー10010（５桁）

19　ーーーーーーーーーーーーーーー10011（５桁）

20　ーーーーーーーーーーーーーーー10100（５桁）

21　ーーーーーーーーーーーーーーー10101（５桁）

22　ーーーーーーーーーーーーーーー10110（５桁）

23　ーーーーーーーーーーーーーーー10111（５桁）

24 ーーーーーーーーーーーーーーー 11000（５桁）

25 ーーーーーーーーーーーーーーー 11001（５桁）

26 ーーーーーーーーーーーーーーー 11010（５桁）

27 ーーーーーーーーーーーーーーー 11011（５桁）

38 ーーーーーーーーーーーーーーー 11100（５桁）

29 ーーーーーーーーーーーーーーー 11101（５桁）

30 ーーーーーーーーーーーーーーー 11110（５桁）

31 ーーーーーーーーーーーーーーー 11111 （５桁）

32 ーーーーーーーーーーーーーー 100000（６桁）

33 ーーーーーーーーーーーーーー 100001（６桁）

34ーーーーーーーーーーーーーーー100010

35ーーーーーーーーーーーーーーー100011

36ーーーーーーーーーーーーーーー100100

37ーーーーーーーーーーーーーーー100101

38ーーーーーーーーーーーーーーー100110

39ーーーーーーーーーーーーーーー100111

40ーーーーーーーーーーーー101000　　　　　　　　　　　　　　　　　

41ーーーーーーーーーーーーーーー101001

42ーーーーーーーーーーーーーーー101010

43ーーーーーーーーーーーーーーー101011

・　　　　　　　　　　　　　　　　　・

・　　　　　　　　　　　　　　　　　・

・　　　　　　　　　　　　　　　　　・

62 ーーーーーーーーーーーーーーー 111110（６桁）

63 ーーーーーーーーーーーーーーー 111111（６桁）

64 ーーーーーーーーーーーーーーー 1000000(7桁）

65 ーーーーーーーーーーーーーーー 1000001(7桁）

・　　　　　　　　　　　　　　　　　　・

・　　　　　　　　　　　　　　　　　　・

・　　　　　　　　　　　　　　　　　　・

126 ーーーーーーーーーーーーーーー 1111110(7桁）

127 ーーーーーーーーーーーーーーー1111111 (7桁）

128 ーーーーーーーーーーーーーーー10000000（８桁）

・　　　　　　　　　　　　　　　　　・

・　　　　　　　　　　　　　　　　　・

・　　　　　　　　　　　　　　　　　・

253 ーーーーーーーーーーーーーーー11111101（８桁）

254 ーーーーーーーーーーーーーーー11111110（８桁）

255 ーーーーーーーーーーーーーーー11111111（８桁）

256 ーーーーーーーーーーーーーーー100000000(9桁）

257 ーーーーーーーーーーーーーーー100000001(9桁）

マックス　「さあ　かけまくるぜ。

そうだな。

まず(２進数)1×(２進数)1だ

もろに何も考えず(２進数)1×(２進数)1をかけあわせると

10進数1×10進数1＝10進数1より　予想して

(２進数)1×(２進数)1＝(２進数)1になる。

この計算方法が正しいかどうかは

この式(２進数)1×(２進数)1＝(２進数)1のなかの

(２進数)1に

(２進数)1を10進数表示で表したものを代入し

右辺と左辺が

等しくなるか確かめてみればいい。

結果は

(２進数)1×(２進数)1＝(２進数)1

は

(10進数)1×(10進数)1=(10進数)1

となり右辺と左辺が等しくなる。

よって

(２進数)1×(２進数)1＝(２進数)1

は成立しているわけだ

(２進数)1×(２進数)1は(２進数)1となるわけだ

いいじゃ～んん（＾＾）」

老人　「うむ　うむ」

マックス　「では(２進数)10×(２進数)10は？

すなわち　もう　もろにかけあわせる！

(２進数)10×(２進数)10＝(２進数)100　！（大胆にそのまんま10と10をかけてきました）

っこの計算方法がただしいどうかは

(２進数)10と(２進数)100の部分

に

(２進数)10と(２進数)100

を

10進数に表し直したものを

代入し右辺と左辺が

等しくなるかどうか確かめてみればいい。

結果は

(２進数)10×(２進数)10＝(２進数)100

は

(10進数)2×(10進数)2=(10進数)4

と右辺と左辺が等しくなり

(２進数)10×(２進数)10＝(２進数)100

のように　もろに(２進数)10同士をかけあわせて

(２進数)100の結果をだしてもよいことがわかる。」

老人　「２進数同士の掛け算　

☆1×1=1

☆10×10=100

全く10進数同士の掛け算と同じじゃな。

２進数とは不思議なものじゃのう・・・」

マックス　「むしろ10進数と違い1と0のみを用いている分

シンプル。なにか美しさを感じる・・・。

むむっ、これはっっ　今やっているのはＣ言語学習だが、

おもわぬ数学の神秘にであっちゃったかな。」

老人　「そうじゃのう。マックス。

どこからが数学でどこからがコンピュータ学か？・・

それともいろんな学問はつながりあっておるのか。

さても楽しいことよのう。」

マックス　「では(２進数)100×(２進数)100

をもとめてみよっかな

この計算結果はいままでの

２進数同士の掛け算　1×1=1 10×10=100

の結果より

(２進数)100×(２進数)100=(２進数)10000（100と100をもろにかけあわせるわけですね）

と予想される。

この計算方法が正しいかどうか確かめるために

(２進数)100×(２進数)100=(２進数)10000

の

(２進数)100と(２進数)10000に

(２進数)100と(２進数)10000を10進数表示したものを

代入する・・・

(２進数)100は4

(２進数)10000=16

なので

(２進数)100×(２進数)100=(２進数)10000

は

（10進数）4×（10進数）4=(10進数)16

となるわけだ！

左辺と右辺が等しくなった。

このもろに100と100をかけあわせる方法は正解だ。

もし　このもろに掛け合わせる計算方法がまちがっていると

（10進数）4×（10進数）4=(10進数)32

とか

左辺と右辺が等しくない

おかしな結果がでてくるのだが・・・

全くその気配すら感じない・・。

２進数のシステムはすごいっ。（＾＾）

つまりこのことにより

(２進数)100と(２進数)100をもろに掛け合わせても

よいということになる。」

老人　「そうじゃな・・・」

マックス

「最後に（２進数）1110×（２進数）11=?

をもとめてみたいとおもいます。」

老人　「マックスや・・・

おぬしは優しいのう。」

マックス

「いやあ　なんのことかな・・・

ははは　それにしても2進数・・・

コンピュータのお気に入りだけのことはある。

このシンプルさ・・・

もしかしたら

人間の世界の10進数より使い方は簡単かも・・・

よーし　いってみよう！　ははは

簡単、簡単

（２進数）1110×（２進数）11=?

うーむ　おそらく答えはこうだ

多分この方法だ（＾＾）/

大体数字を1の位　10の位　100の位とわけていけば

うまくいく。　はず（＾＾）だ。

（２進数）1110×（２進数）11=

1110×11＝

1110×(10+1)=

1110×10+1110×1=

(1000+100+10)×10+(1000+100+10)×1=

（1000=100+100なので）

(100＋100+10+10+10)×10+(100＋100+10+10+10)×1=

（100=10+10なので）

(10+10+10+10+10+10+10)×10+(10+10+10+10+10+10+10)×1=

さっきの問題より

1×1=1

10×10=100

が成立するので

100+100+100+100+100+100+100+(10+10+10+10+10+10+10)×1=

1+1=10なので

100+100+100+100+100+100+100+(1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1)×1=

1×1=1なので

100+100+100+100+100+100+100+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1=

100+100=1000なので

1000+1000+1000+100+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1=

1+1=10なので

1000+1000+1000+100+10+10+10+10+10+10+10=

1000+1000=10000なので

10000+1000+100+10+10+10+10+10+10+10=

10+10=100なので

10000+1000+100+100+100+100+10=

100+100=1000なので

10000+1000+1000+1000+10=

1000+1000=10000なので

10000+10000+1000+10=

10000+10000=100000なので

100000+1000+10=

101010

となる

すなわち

1110×11＝

1110×(10+1)=

1110×10+1110×1の計算結果は

101010

となる

また次のような計算方法もあってるんじゃないか？

たぶんだけど・・・・・

1110×11＝

1110×(10+1)=

1110×10+1110×1=

(ここでは素直に掛け算をおこなっています　この方法があっているかどうかは最後に確認することになります）

11100+1110

ここまででふつうに掛け算の部分は終了する。（註）

つまり1110×11をふつうにかけあわせてみたんだ。

（1110×11をふつうにかけあわせてみたとなっていますが

1110×11=12,210

のようにかけあわせることはできませんのでご注意ください

0と1のみの2進数の計算に10進数の2が混じっていますね

）

11100+1110

を

あとは足し合わせていくだけだ。

11100+1110

は

(10000+1000+100)+(1000+100+10)と分解されるだろう

ここで2進数の足し算では

100と100を足すと1が繰り上がり

100+100=1000

となるので

(10000+1000+100)+(1000+100+10)=

100を2つとも真ん中らへんにもってきて

👇

(10000+1000)+100+100+1000+10=

100+100=1000を用いて変形し

　　　　　　　　👇

(10000+1000)+1000+1000+10＝

となり

2進数の足し算では

1000と1000を足すと1が繰り上がり

1000+1000＝10000になるので

(10000+1000)+1000+1000+10＝

（）をくくりなおして

10000+(1000+1000)+1000+10=

さらに短く

10000+10000+1000+10＝

となる。

最後に

2進数の足し算では

10000と10000を足すと1が繰り上がり

10000+10000＝100000になるので

今の式は

10000+10000+1000+10＝

100000+1000+10=

となり最終的に

101010となる。

つまり

（２進数）1110×（２進数）11=（２進数）101010

となるわけだ

この（２進数）1110×（２進数）11をもろに

掛け合わせた今の計算結果が正しいかどうかは

もろに（２進数）1110と（２進数）11をかけあわせて

答えを得た今の式、

🐣（２進数）1110×（２進数）11=（２進数）101010 🐤

👆

この式の(２進数)1110と(２進数)11と(２進数)101010の部分に

(２進数)1110と(２進数)11と(２進数)101010を10進数に直したものを

代入し右辺と左辺が

等しくなるかどうか確かめてみればいい。

実際にたしかめてみると

（２進数）1110×（２進数）11=（２進数）101010

は

（10進数）14×（10進数）3=（10進数）42

となる。

つまりぃ　右辺と左辺は等しくなり

もろに（２進数）1110と（２進数）11をかけあわせて

答え（２進数）101010

をもとめてみてもよいことになる。

今までのデータの結果から

🐥🐥ふつうに２進数同士を掛け合わせても

正しい答えがでてくる🐧🐧

のはまずまちがいないかな。」

老人　「ようは

２進数同士の計算は（足し算も、引き算も、掛け算も）

簡単に誰にでも計算できてしまうということじゃな。

おぬしがコンピュータに２進数同士の計算を頼まれる日

がくるかもしれんのう　　ふぉ　ふぉ　ふぉ」

。。。。。。。。。。。。。。。。。

ここまででふつうに掛け算の部分は終了する。（註）

とマックスはいっていますね。

そう

2進数の掛け算は

1110×10+1110×1=11100+1110

のように

10進数型の掛け算の計算方法をつかっていたのが

2進数の足し算になると

1+1=10

10+10=100

100+100=1000

になるという

2進数独自の計算方法にきりかわっていますね。

つまり

10進数を計算するときは

10進数型掛け算◎

10進数型足し算◎

をおこない

2進数を計算するときは

10進数型掛け算◎

10進数型足し算×→２進数型足し算◎

をおこなうように

計算方法が変化しているのです。

つまり

2進数を計算するときは

10進数型掛け算◎と

２進数型足し算◎の２つの形式が存在する構造となっています

なんか面白いですね。

みなさんはどうおもわれますか？

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　solarplexussより