前のエピソード――ChatGPTに京大数学の証明問題を解かせてみたらすごいことになった。

　二回目のチャレンジでChatGTPは京都大学の数学入試を解くことができるとわかりました。では、東京大学の数学入試はどうでしょうか。

　難易度は年度によって変動しますが、東京大学の過去問を見てみるとやはり全体的に難易度が高く、僕自身、自力で解けた問題は指で数えるほどしかありません。僕が知識不足なのもありますが……。

　閑話休題、東京大学と言えども、すべての問題がめちゃくちゃ難しいわけではなく、意外にも中学レベルの知識で解ける問題もあります。有名なところだと2003年理系第6問。

　円周率が3.05より大きいことを証明せよ

　この問題は円周率の定義を理解していれば証明することはそう難しくありません（計算がやや面倒ですが）。さて、ここで読者の皆様に問題です。円周率の定義を簡潔に述べてください。

「円周率はおよそ3.14です」

　なんて答えはもちろん×です。3.14は近似値。答えは「円の直径と円周の比率」です。ChatGTPにも質問してみました。

　円周率の定義は？

　円周率（π）は、円の周囲の長さと直径の比で定義されます。すなわち、以下の式で表されます。

　π = 周囲の長さ ÷ 直径

　この定義により、円周率はすべての円に対して一定の値を持ちます。ただし、正確にπの値を計算することはできません。πは無限に続く小数であり、その値を正確に計算することはできません。しかし、数学者たちはπの近似値を求めるための多くの方法を開発し、πの値を非常に高い精度で計算することができます。

　ChatGPTには簡単だったようです。それでは東大入試に挑戦してもらいましょう。

　円周率が3.05より大きいことを証明してください

　円周率（π）が3.05より大きいことを証明するためには、πの値を3.05と比較すればよいです。

　πは、円の周囲の長さと直径の比であることが定義されています。したがって、円周率の値を正確に求めることはできませんが、近似値を計算することができます。

　例えば、πを10桁まで計算すると、以下のようになります。

　π ≈ 3.1415926535

　この値は、3.05よりも大きいことがわかります。したがって、πが3.05よりも大きいことが証明されました。

　……証明ですらねぇ。「πの値を3.05と比較すればよいです」って……そのπの値が3.05より大きいことを証明せよと問うているんですよ。定義はちゃんと書けてるのになぜそんな答えが返ってくるのか。敬語ではなく問題文そのままでいきましょう。

　円周率が3.05より大きいことを証明せよ

　円周率（π）は、正確な値を求めることができない無理数であり、近似値を用いて計算されます。一般的に使用される近似値は、以下のように表されます。

　π ≈ 3.14159265358979323846...

　この値は、3.05よりも大きいことがわかります。なぜならば、3.14159265358979323846...の小数点以下の最初の桁が3であるため、3.05よりも大きいことが確かめられるからです。したがって、円周率が3.05よりも大きいことが証明されました。

　嘘やろ。正直さっきの答えより酷い。どうしたChatGPT。もしかして求め方がわからないのでしょうか。そんなはずはありません。質問してみましょう。

　πの値の求め方を教えてください

　正確なπの値を求めることはできませんが、πの近似値を求めるためには、様々な方法があります。以下に代表的な方法をいくつか挙げます。

　1.アルキメデスの方法：円の内接正多角形と外接正多角形の周囲の長さを計算し、内接正多角形の周囲の長さと外接正多角形の周囲の長さの平均値をとることによって、πの値を求める方法です。

　2.ニュートン法：ニュートン法を用いて、πの関数における解を求めることによって、πの値を求める方法です。

　3.モンテカルロ法：ランダムに点をプロットして円の内部と外部にどれだけの点があるかを数え、その割合を使ってπの値を推定する方法です。

　4.逆三角関数の展開：アークタンジェントのテイラー展開式を使用して、πを計算する方法です。

　これらの方法はいずれも近似値を求めるための方法であり、正確なπの値を求めることはできません。しかし、それぞれの方法によって、異なる精度のπの近似値を得ることができます。

　そこまで詳しく答えられるなら、円周率が3.05より大きいことを示すのは容易でしょう。話は少し逸れますが、1の方法について少し補足しておきます。

　アルキメデスは円に内接する正96角形、外接する正96角形の周の長さを計算して、円周率が約3.14であることを示しました。この方法でルドルフという数学者が正2（　62）（461京1686兆184億2738万7904）角形の周の長さを計算し、円周率を小数点以下35桁まで求めています。末恐ろしい。

　ニュートンとライプニッツが積分を開発してからは、4の方法が主流となりました。筆算での最高記録はシャンクスの小数点以下707桁（小数点以下528桁目から誤り）です。ミスがあったとはいえ、人間卒業してますね。

　今回の問題では1の方法が無難でしょう。3.05より大きいことを示すなら正8角形でも充分です。計算過程は省きますが、半径1の円に内接する正8角形の周の長さは8(√(2－√2))

　8(√(2－√2))の概算値はおよそ6.12なので、円周率の定義からπ≒3.06。π＞3.05が示せます。

　ChatGPTはまだまだ苦手なことが多いみたいですね。ちなみに「ChatGPT　数学」で検索してみると、同じ問題を最新のGPT-4（僕が使っているのはデフォルトのGPT-3.5）で検証している記事が複数ありました。多少は改善しているようです。まあ、機能が向上しすぎると悪用される危険性が高まりますから、これくらいがちょうどいいのかもしれません。