彼らは数学しか勉強できない

277777788888899と24547284284866560000000000の不思議（Persistence of a number、powertrain）

　1973年、ニール・スローンという数学者はPersistence of a number（数の持続性）という概念を考えた。

　任意の自然数の各位の数を掛け合わせて、1桁の数になるまで計算を続ける。例えば1729だと、

　1729→126→12→2

　3回の計算で1桁になったので、1729のPersistenceは3だ。もうひとつ、777でやってみると、

　777→343→36→18→8

　よって、777のPersistenceは4となる。

「スローンは10（　233）までの自然数まで調べたんだけど、Persistenceが11を超える自然数は存在しなかった」

「Persistenceが11の数って何があるの？」

「最小は277777788888899。実際に計算してみるとわかる」

　俺はそう言ってスマホの電卓で計算を進めた。

277777788888899→4996238671872→438939648→4478976→338688→27648→2688→768→336→54→20→0

「Persistenceが2で最小なのは10、3で最小なのは39。あとは次の通りだ。PはPersistenceの頭文字」

　P　

　4　77

　5　679

　6　6788

　7　68889

　8　2677889

　9　26888999

　10　3778888999

　11　277777788888899

「12以上の数はないの？」

「存在しないと考えられてるけど証明はされていない」

「10（　　　20000）までにPersistenceが12の数はなかったらしいよ。まあ、ないと思うけどね」

「なんで？」

「各位の数にひとつでも0があればすぐに計算が終わるから。277777788888899みたいにPersistenceが10を超えることなんて稀だよ」

　確かに、各位に偶数と5が含まれていれば0が出現するし、上手く数字を組み合わせないとPersistenceを長くすることは厳しい。

「ねえ、今、気づいたんだけど、5だけの数って全部Persistenceが3にならない？」

　ふいに愛華が言った。首をかしげる成宮に愛華はスマホの電卓を使って説明を始めた。

「例えば、555は次の数が125。5555だと625、55555は3125で後ろの2つはいつも25じゃん？　ってことはみんな3つ目の数は必ず0が現れるよね」

「そういうことか。やるね友村さん」

　5のべき乗か。確かに、5の累乗数はべき指数が2以上の自然数のとき、下二桁は必ず25になるから、3項目の数は必ず10の倍数になる。つまり、5だけで構成された自然数はすべてPersistenceが3ということ。

　55→25→10→0

　555→125→10→0

　5555→625→60→0

　55555→3125→30→0

　以下、同様にPersistenceは3。

　よくよく考えれば当たり前だけど、案外気づかないもんだな。

「スローンはPersistence of a numberとは別に、powertrainという概念についても面白い発見をしている」

「powertrain？　なんで電車？」

「電車じゃない。ここで言うtrainは列だ。powerは累乗のこと」

「累乗列か。どういうものなんだい？」

「今から説明する」

　powertrainは任意の自然数の奇数桁目を底、偶数桁目を指数にして計算する。例えば3029だと、

　3029→3（　0）・2（　9）＝512

　桁数が奇数の場合、最後の数は指数を付けずに計算する。

　512→5（　1）・2＝10

　10→1（　0）＝1

　計算過程を省略してまとめると、

　3029→512→10→1

「powertrainはジョン・ホートン・コンウェイという数学者が2007年に考えたもので、コンウェイはスローンの友人らしい」　

「比較的新しいんだね」

「そう。Persistence of a numberと同じように1桁の自然数になるまで計算するんだけど、2つの数が1桁にならなかった」

　その2つは2592と24547284284866560000000000。前者はコンウェイ、後者はスローンが発見した。実際に計算すると、

　2592→2（　5）・9（　2）＝32・81＝2592

　24547284284866560000000000＝2（　4）・5（　4）・7（　2）・8（　4）・2（　8）・4（　8）・6（　6）・5（　6）・0（　0）・0（　0）・0（　0）・0（　0）・0（　0）

　＝16・625・49・4096・256・65536・46656・15625・1・1・1・1・1

　＝24547284284866560000000000

「よくこんなの見つけるよね。1桁にならないのはこの2つだけ？」

「大方の予想ではそう言われてる」

「でも、証明はされてないんだね」

　成宮の言葉に俺は頷いた。証明されるまでは「予想」でしかない。

参考文献

アレックス・べロス　田沢 恭子・対馬 妙・松井 信彦　訳『素晴らしき数学世界』早川書房　2012年