彼らは数学しか勉強できない

京大入試と2つの解法

　数学研究部ではこれまで京都大学、東京大学、大阪大学、灘中学、開成中学などの名門大学、中学入試問題を解いてきた。東大のn乗数問題は証明が不十分だが難易度的に完璧を目指すのは諦めた。

「安藤、ちょっといいかい」

　ふいに成宮に呼ばれた。今日も大学入試解いてるんだろうな、この過去問マニアは。

「どうした」

「この問題、解いてみてくれないかい？　答え合わせがしたいんだ」

「解答見ればいいだろ」

「そう言わずに……もしかして自信ないとか？」

　こんな軽い挑発に乗るほど俺は短気ではない。ただ、問題の内容は気になる。

「どんな問題だ」

　成宮はスマホをスクロールさせて問題を見せた。今回は京都大学か。

　自然数a、bはどちらも3では割り切れないが、a（　3）＋b（　3）は81で割り切れる。このようなa、bの組(a,b)のうち、a（　2）＋b（　2）の値を最小にするものと、そのときのa（　2）＋b（　2）の値を求めよ。(2014年)

「これ、難易度はどれくらいなの？」と愛華。

「5段階で評価すると3かな。難関大の入試では標準的だと思う」

「基準がよくわからない……」

　難しいか否かは置いとくとして、まずはa（　3）＋b（　3）の因数分解だな。

　a（　3）＋b（　3）＝(a＋b)(a（　2）－ab＋b（　2）)

　a、bはどららも3の倍数ではないから、a＋bとa（　2）－ab＋b（　2）が3の倍数になるってことか。a＋bの値が3ならa（　2）－ab＋b（　2）は27の倍数だが、そんな組が存在しないのは計算せずともわかる。ただまあ、実際の試験だとこういう細かいところまで見るだろうからな。一応示しとくか。

　a＋b＝3のときに考えられる組は(1,2)と(2,1)だけ、a（　3）＋b（　3）の値は9で題意を満たさない。

「和人、どこまで進んでる？」

「ちょっと待て。今考えてる途中だ」

「進捗状況だけでも教えて」

　俺は面倒だと思いながらも問題を解く方針を簡潔に説明した。

「なんでaとbが3の倍数じゃないから、a＋bとa（　2）－ab＋b（　2）が3の倍数って言えるの？　a（　2）－ab＋b（　2）が81の倍数ってこともありえるよね」

「それはない。もしa（　2）－ab＋b（　2）が81の倍数なら、a+bの値は1になるだろ。つまりa、bのどちらかが0ってことだ」

「あ、そっか。だから3の倍数なんだ」

「そういうこと」

　a＋b＝3のときに解がないことは確認済み。次はa＋b＝9の場合を考える。

「a＋b＝9のとき、考えられる組み合わせは(1,8)、(2,7)、(4,5)、(5,4)、(7,2)、(8,1)の6組ある。(1,8)、(2,7)、(4,5)と(5,4)、(7,2)、(8,1)はaとbを入れ替えただけだから実質同じだ」

「(3,6)と(6,3)は？」

「問題をよく見ろ。『a、bはどちらも3では割り切れない』って書いてるだろ」

「あ、そうか」

　候補は6組だが確かめるのは最初の3組だけでいい。

　a＝1、b＝8のとき　1－8＋64＝57

　a＝2、b＝7のとき　4－14＋49＝39

　a＝4、b＝5のとき　16－20＋25＝21

　よって、どの組も題意を満たさない。結果をノートにまとめる。

「おっ、結構進んでるっぽいね。ラストスパートって感じ？」

「まあな」

　a＋b＝27のとき、a（　2）－ab＋b（　2）が3の倍数であることはわかっているから、題意を満たす(a,b)があることは確実。

　候補は(1,26)から(26,1)までの26組。さっきと同じ考えで行くと確かめるのは(1,26)から(13,14)の13組……違う。(3,24)、(6,21)、(9,12)、(12,9)が含まれているから計算するのは9組でいい。さっきは3組だからまだよかったが、これは計算量が多すぎる。

　さっきの結果を見ると、2数の差が小さくなるほどa（　2）－ab＋b（　2）の値も小さくなっている。ということは(13,14)と(14,13)が答えと見ていいだろう。あとはa（　2）＋b（　2）の値を求めるだけだ。

　a＝13、b＝14として、a（　2）－ab＋b（　2）＝169－182＋196＝183

　1＋8＋3＝12より、183は3の倍数。

　a（　2）＋b（　2）の値は、169－182＋196＝183より、182＋183＝365

「はい。終わり」

「もう解けたとか早すぎ。あっ、成宮君はどうだったの？」

「値は一緒だよ。でも、解き方が微妙に違うね」

「どういうことだ？」

　もしかして因数分解せずに解いたのか？　因数分解せずに解くのは遠回りのような……。

　俺は成宮にノートを見せてもらった。確かに式が違う。俺はa（　3）＋b（　3）を因数分解したが、成宮は式を変形している。

　a（　3）＋b（　3）＝(a＋b)（　3）－3ab(a＋b)

「基本的な考え方は安藤と同じだよ。でも、僕は計算をほとんどしていない」

「なんで」

「式を見ればわかるさ。a（　3）＋b（　3）は81の倍数だから(a＋b)（　3）と3ab(a＋b)も81の倍数のはずだ」

「ちょっと待て。余りが同じなら81の倍数でなくても式は成り立つだろ」

　法を81として、　(a＋b)（　3）≡27、3ab(a＋b)≡27のとき

　a（　3）＋b（　3）≡0より、0≡27－27

「ごめんごめん、説明を端折（はしょ）りすぎた。でもa＋bが3の倍数であることは式から言えるよね」

「ああ。a（　3）＋b（　3）と3ab(a＋b)は法が3のとき0と合同だから、a＋bも0と合同。要は3の倍数」

「じゃあ、a＋b＝3として考えると、3（　3）＝27、a（　3）＋b（　3）は81の倍数だからこのままじゃ式は成立しない。a＋b＝9だと3ab(a＋b)が27の倍数だからこれも成立しない」　

　なるほど。上手く考えたな。a＋b＝27ならば(a＋b)（　3）－3ab(a＋b)は81の倍数になり題意を満たす。

「あとはabの値が最も大きい(a,b)の組を見つければいい」

「え、どういうこと？　求めるのは最小の組でしょ」

「求めるのはa（　3）＋b（　3）が81で割りきれる最も小さい組だ。a（　3）＋b（　3）＝(a＋b)（　3）－3ab(a＋b)だから、3ab(a＋b)の値、つまり引く数が大きくなるほどa（　3）＋b（　3）の値は小さくなる」

「あ～、なんとなくわかったかも」

　あとは(1,26)から(13,14)までの9組を計算すればいい。いや待て。成宮はほとんど計算をしていないと言ってたな。冷静に考えたら9組も計算して確かめるのは効率が悪い。

　例えば、a＞bとして2数の差がk(kは自然数)のとき、b＝a－kよりab＝a(a－k)

　a（　2）＞a(a－k)＞b（　2）より、abの値が最大になるのはk＝1のとき、だからa＋b＝9のときは(4,5)だけ計算すればよかったんだ。

　問題は解けたのになぜか悔しい。まさか成宮の奴、この解答を見せるために俺に問題を解かせたのか？　あとで本人に訊いてみるか。