彼らは数学しか勉強できない

問題1～23の解説

　問題1　生徒の人数

　まずは少ない人数で考えてみます。

　生徒をAとして、前から3番目、後ろから3番目にいるとします。

　単純に考えると、3＋3＝6人と答えそうですが、確認してみましょう。

　1、2、3、4、5、6

　Aは前から3番目なので、3をAに置き換えます。

　1、2、A、4、5、6

　すると、後ろから数えて4番目になり矛盾します。

　1人少なくすると、1、2、A、4、5で、前から3案目、後ろから3番目で矛盾しません。

　同様に考えると、問題は15番目、後ろから数えて14番目だったので、15＋14－1＝28人となります。

　問題2　同じペアを作る

　星座は全部で12個、血液型はA、B、O、ABの4つです。

　すべての組み合わせは、12・4＝48通り。

　48人集めて同じペアがいなかったとしても、49人目は誰かひとりと重複するので、確実にペアができます。

　これは「鳩ノ巣原理」と呼ばれる有名な原理です。

　問題3　時間の変換

　1日は24時間より、0.2・24＝4.8時間

　1時間は60分より、0.8・60＝48分

　よって、0.2日は4時間48分

　問題4　2人で協力したら

　簡単な仕事算です。

　全体の仕事量を12とすると、Aは12/4＝3、Bは12/6＝2

　なので、2人で協力すると、12/5＝2.4日

　0.4は問題3と同じように計算して、9時間36分

　問題5　10代の割合

　分かりやすくするために、町全体の人口は100人とします。

　男性が60％、女性が40％なので、男性60人、女性40人です。

　60人のうち20％が10代なので、60・0.2＝12人、女性も同様に12人です。

　つまり、町全体に10代は24人いることになります。よって、答えは24％です。

　問題6　歪んだサイコロ

　6の目が出る確率が、1から5までの目が出る確率の2倍なので、これは6の目が2つある七面体のサイコロだと見なすことができます。よって、答えは2/7　

　問題7　曜日を求める。

　100日後の曜日は、100を7で割って余りは2なので、2日後の曜日と同じ。

　5か月前の曜日は、－5か月後として、－150を7で割って余りは－3なので、－3日後（4日後）と同じ曜日。

　7年後の曜日は、365を7で割って余りは1、閏年は考えないので、1・7を7で割って0

　3週間は21日で7の倍数だから考えません。

　よって、2－3＝－1より、日曜日100日後の3週間前の5か月前の7年後は1日前と同じ曜日、土曜日です。

　問題8　反論するには

「すべての学生は勉強をしていない」は「すべての学生」なので、「1人でも勉強している学生」がいることを言えば反論になります。

　問題9　魔法のバット

　数学マニアの方なら、問題文から「これ、モンティホール問題だな」と分かったかと思います。

　モンティホール問題の詳細は、Wikipediaや個人ブログで説明されているので省きます（投げやり）が、変更しない場合は1/3、変更すると2/3の確率で、魔法のバットを手に入れられます。

　問題10　動画の総再生時間

　無限等比数列を使う問題です。2倍速なので、再生時間は1/2　4倍速なら1/4、8倍速は1/8になります。

　無限等比数列の式は、初項a、公比r(r≠0)、収束する値をS_nとして、S_n＝a(1－r（　n）)/(1－r)

　この問題の場合、初項は10、公比は1/2なので、式に代入して整理すると、S_n＝10{2－(1/2)（　n）}

　(1/2)（　n）は0に収束するので、10{2－(1/2)（　n）}の極限値は20

　よって、答えは約20分です。

　問題11　少しいじわるな問題

　まずは左辺の数字を英語に変換します。

　1→one、2→two、3→three、4→four、5→five

　次に文字列を分解して、各文字が先頭（A）から数えて何番目にあるかを調べます。ここから先は見やすくするため大文字で表記します。

　最初のONEなら、Oは先頭から15番目、Nは先頭から14番目、Eは5番目です。

　すべて足すと、15＋14＋5＝34

　TWOはT＝20　W＝23　O＝15より、合計は58　

　THREE　T＝20　H＝8　R＝18　E＝5　E＝5　合計は56

　FOUR 　F＝6　O＝15　U＝21　R＝18　合計は60

　FIVE　F＝6　I＝9　V＝22　E＝5　合計は42

　6（SIX）は、S＝19　I＝9　X＝24より、19＋9＋24＝52

　問題12　正しくない理由

　(1)西暦2000年は21世紀かつ閏年である。

　(2)西暦2100年は22世紀または閏年である。

　「または」と「かつ」の違いは、「または」はどちらか一方が正しい、もしくは両方正しい場合を含んでいます。

「かつ」は両方正しい場合のみ適用されます。

　(1)は閏年ではありますが、21世紀ではないので正しくありません。「西暦2000年は21世紀または閏年である」ならOKです。

　(2)は西暦2100年は22世紀ではなく21世紀。現在使われているグレゴリオ暦では、西暦が4で割りきれる年は閏年ですが、100で割りきれる年は平年。そして、400で割りきれる年は閏年と決まっています。

　2100は100では割り切れますが、400では割り切れないので平年です。

　問題13 　対数を使わずとも計算は可能

　log3≒0.4771（底は10）を知っていれば、0.4771・48≒22.６より23桁だと容易に求められます。ただ、3（　2）＝9から、3（　48）＝9（　24）＜10（　24）なので、ある程度絞り込むことはできます。

　もしくは、3（　6）＝729≒7.3・10（　2）として、

　3（　12）≒(7.3・10（　2）)（　2）＝53.29・10（　4）

　≒5.3・10（　5）

　3（　24）≒(5.3・10（　5）)（　2）＝28.09・10（　10）

　≒2.8・10（　11）

　3（　48）≒{2.8・10（　11）}（　2）＝7.84・10（　22）

　と逐次（ちくじ）的に計算して求めるのもありですね（正確な値と誤差は大きいですが……）。

　問題14　未来に行ける確率

　未来行きのドアを「未」、過去行きのドアを「過」、普通のドアを「普」として、すべての組み合わせを考えます。

　　A　 B　 C

１　未　普　過

２　未　過　普

３　過　未　普

４　過　普　未

５　普　未　過

６　普　過　未

　Aを選んだあと、彼は見張り番に「普通のドアはBとCのどちらですか」と訊きました。見張り番は「Bです」と返答しました。ここで、1と4の可能性が消えました。

　残った4つの候補のうち、Aが未来行きの組み合わせは2しかありません。

　よって、答えは1/4となります。

　問題15　ある意味ひっかけ問題

　まずは100を素因数分解して、100＝2（　2）・5（　2）

　100！で何回割りきれるかなので、1から100までに素因数5が何個あるかがわかれば答えが求められます。

　5の倍数は100/5＝20、25の倍数は100/25＝4

　よって、100！を素因数分解したとき、5の指数表記は5（　24）

　答えは24/2＝12より12回割りきれます。

　問題16　最小の組

　連続する3つの自然数のうち、2番目が5の倍数なので、最も小さい数の下一桁は4だと分かります。

　最も小さい数は3の倍数かつ下一桁が4なので、24で考えてみます。

　すると、24、25、26ですが、最も大きい数は7の倍数なので題意を満たしません。

　次に54で試してみると、54、55、56で、56は7の倍数で題意を満たします。

　問題17　範囲を広げて因数分解

x（　2）－6x＋4は整数の範囲では因数分解できないので、まずは、x（　2）－6x＋4＝0を2次方程式の解の公式を使って解きます。

　解の公式は、(－b±√b（　2）－4ac)/2

　この式に、a＝1、b＝－6、c＝4を代入すると、x＝3±√5です。

　次の説明に入る前に、整数の範囲で解ける因数分解と2次方程式について考えます。

　2次方程式、x（　2）－6x－8＝0は普通の因数分解で解けます。

　x（　2）－6x＋8＝0

　(x－2)(x－4)＝0

　ここで一旦ストップして、上記の式について考察していきます。

　(x－2)(x－4)＝0という式は、x－2＝0またはx－4＝0を意味しています。

　解は左辺の数字を右辺に移項して、それぞれ、x＝2、4です。

　これを問題17に当てはめると、解はx＝3＋√5とx＝3－√5の2つですから、逆に右辺から左辺に移項して、x－3－√5＝0、x－3＋√5=0となります。

　よって、求める答えは、(x－3＋√5)(x－3－√5)

　問題18　素数ずくめの問題

　ホワイトデー、つまり3月14日より早く渡しており、渡した日が素数なので、候補はホワイトデーから近い順に

　3月13日、3月11日、3月7日、3月3日、3月2日、2月29日、2月23日、2月19日、2月17日

　の9通り考えられます。現実的には3月13日か3月11日が妥当だと思いますが、それより前の可能性も否定はできません。

　次に、彼女が彼にチョコを渡したのが、彼からお返しをもらう1ヶ月前だということです。

　2月は閏年でなければ28日ですから、彼女がチョコを渡したのは、3月から近い順に

　2月11日（12日）、2月9日（10日）、2月5日（6日）、2月1日（2日）、1月31日（2月1日）、1月30日、1月24日、1月20日、1月18日　

　括弧内は閏年を考慮した場合の日付です。

　そして、彼女がチョコを渡した日は素数なので、候補は1月31日、2月2日、2月5日、2月11日の4つに絞られました。

　また、「その月の最終日から渡した日を引くと素数になる」ので、この場合は28（閏年は29）から渡した日の数字を引きます。1月31日は31を引きます。

　1月31日は0、2月2日は26（27）、2月5日は23（24）、2月11日は17（18）です。

　括弧内は閏年だった場合の計算結果です。この結果から、彼女がチョコを渡したのは、2月5日か2月11日のどちらかです。

　さて、どうやって1つに絞ればいいのでしょうか。実は僕自身、問題の作成にあたってこの壁にぶち当たりました。そこで思いついたのが双子素数でした。

　問題文でも説明した通り、双子素数は差が2の素数のペアのことです。ただし、2と3は例外。

　23のペア候補は21と25、17は15と19です。この中で双子素数のペアが成立しているのは、17と19のみです。

　よって、彼女がチョコを渡したのは2月11日、彼がお返しを渡したのは3月13日。そして、彼女の年齢は19歳となります。

　問題19　計算力より論理力が必要

　この問題は答えで説明している通り、17、23、29など、1つしかない素数があるので、3人の数字の積を等しくすることはできません。これは3人に限らず、4人、5人、それ以上でも同様です。

　問題20　生年月日のパラドックス

　誕生日のパラドックスを拡張して作った問題です。

　求め方は余事象、つまり、全体から「生年月日が異なる確率」を引けば求められます。

　Wikipediaで調べたところ、平成は11070日あったそうです。これが母集団。

　2人目が1人目と生年月日が異なる確率は、11069/11070

　3人目が2人目と1人目と生年月日が異なる確率は、11068/11070

　同じ要領で進めていけば、n人の生年月日が全て異なる確率は、P1_(n)＝11070！/11070（　　　　　n）(11070－n)！となります。

　よって、n人の生年月日の人が少なくとも2人いる確率は、P2_(n)＝1－11070！/11070（　　　　　n）(11070－n)！

　筆算での計算は物理的に無理なので、Excelを使って計算してみました。その結果、99.8％（小数点第二位を四捨五入）と出ました。全体の数を考えると、たった365人で99％を超えるのですから驚きです。

　問題21　整数の場合より難しい

　まずは、n（　3）＋n（　2）＋n＋1を、n（　2）＋3n＋5で割ります。

　n（　3）＋n（　2）＋n＋1－n(n（　2）＋3n＋5)

＝n（　3）＋n（　2）＋n＋1－n（　3）－3n（　2）－5n＝－2n（　2）－4n＋1

－2n（　2）－4n＋1＋2(n（　2）＋3n＋5)

＝－2n（　2）－4n＋1＋2n（　2）＋6n＋10＝2n＋11

　あとは、2n＋11がn（　2）＋3n＋5で割りきれるようなnを求めれば良いわけです。

　仮に、2n＋11をn（　2）＋3n＋5で割った商が1　つまり2数が等しいとき、2n＋11＝n（　2）＋3n＋5

　式を整理して、n（　2）＋n－6＝0

　(n－2)(n＋3)＝0より、n＝－3、2

　商が－1のとき、2n＋11＝－n（　2）－3n－5

　式を整理して、n（　2）＋5n＋16＝0

　これは整数の範囲で因数分解できないので、2次方程式の解の公式を使います。

　式に代入すると、解は(－5±√39i)/2で実数解を持ちません。－2以降も同様です。なので、商が正の場合だけ考えてみます。

　商が2のとき、2n＋11＝2(n（　2）＋3n＋5)より、2n（　2）＋4n－1＝0

　解は、x＝(－2±√3)/2で無理数となり題意を満たしません。

　商が3のとき、2n＋11＝3(n（　2）＋3n＋5)より、3n（　2）＋7n＋4＝0

　この方程式の解はx＝－1、－4/3で題意を満たします。

　商が4以上になると、解はすべて複素数になります。

　よって、求めるnは－3、2、－1、－4/3の4つです。

　問題22　図形パズルに近い難問

　まずはグループを再確認しておきます。

　グループ1　SNS、USJ、CNN

　グループ2　fx、カメ、十七

　この問題、実は単語自体に意味はありません。重要なのは単語ではなく、単語に使われている文字の形です。

　数学の位相幾何学（トポロジー）という分野で「同相」という概念があります。大まかに説明すると、

　線の向きや長さ、折れ、曲がりはすべて無視して、同じものとする。

　十字やT字、輪といった繋がり具合の異なる場合は、違うものとする。

　例えば、問題にあった「USJ」の場合、『U』『S』『J』はすべて1本の線で構成されているので同相です。

　『ナ』『ソ』は2本の線で構成されていますが、『ソ』は交差していないので同相ではありません。

『メ』と『す』は交差していますがが、『す』は輪があるので同相ではありません。

　上の2つのグループは、単語の文字列がすべて同相のもので分けています。

　この問題では、「アニソン」は4つの文字がすべて、交差していない2本の線で構成されています。問題にあった5択のうち、「りんご」はすべての文字。「アジ」は『ジ』「いわし」は『わ』と『し』「さば」は2文字とも「アニソン」と同相ではありません。ただ、『り』はカタカナの『リ』のような表記になっているものもあるので、その場合は同相です。

「ニラ」は2文字とも交差していない2本の線で構成されているので同相です。

　よって、答えは(2)のニラとなります。

　参考文献

　二宮敦人『世にも美しき数学者たちの日常』幻冬舎　2019年

　問題23　東京大学の数学入試

　この問題の解法は、第14話「東大入試と10000の倍数」とほぼ同じです。

　a（　3）－aを因数分解すると、(a－1)a(a＋1)で、これは連続する3つの整数です。

　a（　3）－aは10000で割りきれるので、(a－1)a(a＋1)の素因数には2（　4） と5（　4）があります。

　改題前の問題では、625が答えの1つでしたが、aは奇数という条件でした。この問題23ではaは整数なので、624と625が最小の奇数、偶数です。

　求めたいのは最大ですから、第14話でやったように、624・625＝(10000－9376)(10000－9375)

よって、9375と9376が答えです。

　ちなみに、題意を満たす整数は、ほかに1249、3751、4375、4999、5001、5625、6249、8751の8つあります。筆算ですべて求めるのは無理ゲーですね。