彼らは数学しか勉強できない

最大公約数はユークリッド互除法で

　東大のn乗数問題を解いて以降、俺は成宮と問題を出し合うようになった。難易度はなるべく高くしているが、あまり力を入れ過ぎると問題作成に時間がかかる。それに、ほかの教科に手が回らなくなっては本末転倒だ。

「でも、手は抜きたくないしな」

　俺は数学書を読みながら一人呟いた。

　翌日、ホームルーム前の教室で成宮から用紙を受け取った。彼は笑みを浮かべて言った。

「もっと難しい問題を出してくると思ったら、小学生でも解けるじゃないか」

「どんな問題出したの？」

「あとのお楽しみだ」

　俺は席に座ってシャープペンを手に取った。

　次の3数を比較して、大小を不等式で表せ。

　2（　　1067）、3（　　776）、7（　　291）

「何これ。成宮君、解かせる気ないじゃん」

「出題者が解けない問題を出すわけないだろ。ちゃんと解法はある」

「どんな解法？」

「指数の最大公約数を求めればいい」

　高校では素因数分解で求める方法が一般的だろう。96と240を例に出すと、まず2つの数を素因数分解する。

　96＝2（　5）・3、240＝2（　4）・3・5

　共通の約数（公約数）で最大なのは2（　4）と3だから、最大公約数は2（　4）・3＝48

　これでもいいのだが、数字が大きくなると素因数分解だけでは難しい。そこで有効なのがユークリッド互除法だ。

「ユークリッドって？」

「古代ギリシャの数学者だよ。『ユークリッド原論』という数学書で有名なんだが、その中に記されている」

　概要は至ってシンプルだ。さっきの例で出した96と240で記す。

　240を96で割ると、2余り48

　96を48で割ると、2で割りきれて終了。

　よって、最大公約数は48

「あっという間に終わっちゃった……」

「素因数分解する手間を考えると、ユークリッド互除法がどれほど万能かが分かる」

「でも、問題には数字が3つあるよ」

「3つの場合は、その内2つを選んで計算すればいい。1067と776でやってみるか」

　1067＝1・776＋291

　776＝2・291＋194

　291＝1・194＋97

　194＝2・97

「291はどうするの？」

「97で割る」

　291/97＝3

「3つの数の最大公約数は97だから、　2（　　1067）、3（　　776）、7（　　291）は次のように書き換えられる」

　2（　　1067）＝(2（　11）)（　97）、3（　　776）＝(3（　8）)（　97）、7（　　291）＝(7（　3）)（　97）

「結局は2（　11）と3（　8）と7（　3）を比較すればいいってことね」

「そういうことだ。2（　11）＝2048、3（　8）は……81（　2）だから6561か。7（　3）＝343だから」

　7（　　291）＜2（　　1067）＜3（　　776）

「早っ。まだ五分も経ってないのに」

「常用対数表があれば桁数も分かる」

「対数ってlog？」

「そう、底を10としたときの値は教科書に載ってるし、載ってなくてもネットで調べればすぐに出てくる」

　愛華は腕を組み、眉根を寄せた。とりあえず値だけ確認しとこう。

　log(10)2≒0.3010、log(10)3≒0.4771、log(10)7≒0.8451

「最初のlog(10)2≒0.3010は10（　　　　0.3010）≒2という意味。同様にlog(10)3≒0.4771は10（　　　　0.4771）≒3、10（　　　　0.8451）≒7だ。まあ、これは参考程度に覚えておけばいい」

　[0.3010・1067]＝321。[0.4771・776]＝370、[0.8451・291]＝245

「和人、数字の間にある[]は何？」

「ガウス記号と呼ばれるものだ。小数点以下を切り捨てるときに使う。求めたいのは桁数だけだから、整数部分だけ分かればいい」

10（　　321）＜2（　　1067）＜10（　　322）

10（　　370）＜3（　　776）＜10（　　371）

10（　　245）＜7（　　291）＜10（　　246）

2（　　1067）は322桁、3（　　776）は371桁、7（　　291）は246桁。

「意味は分かんないけど、とてつもなく大きい数なのは分かった」

「感覚だけでも掴んでもらえれば充分」

　成宮に解答を渡すと、彼は笑顔で受け取った。悔しそうな表情は一切見せていない。

「そっちは解けたのか」

「もちろん。友村さんはまだ問題見てないよね」

　成宮はそう言って、問題用紙を愛華に見せた。

　3つの異なる自然数がある。和が65024、最大公約数が8128のとき、3つの自然数を求めよ。

「これ、小学生でも解けるの？」　

「難しい知識は必要ないからね。手順も至ってシンプル」

　65024を8128で割る。65024/8218＝8

　8を3つの異なる自然数の和に分解する。

　8＝1＋2＋5、8＝1＋3＋4

　上の式の右辺、左辺に8128を掛ける。

　65024＝8128＋16256＋40640、65024＝8128＋24384＋32512より、

　(8218、16256、40640)、(8128、24384、32512)

「さっきより簡単」

「でしょ？　すぐ終わると思うけど、互除法で検算しておこう」

　40640＝2・16256＋8128

　16256＝2・8128

　32512＝1・24384＋8128

　24384＝3・8128

「確かに小学生でも解けるね。桁数が多いから計算は大変だけど」

「5桁掛ける1桁なら筆算でも余裕だよ。それにしても、8128をチョイスするとは洒落てるね」

「何か特別な数字なの？」

「完全数っていうんだけど、その数自身を除く約数の和を足すと、その数になる……言葉だけだとややこしいから、例を出した方が早いね。最小の完全数は6。次が28だよ」

　6の約数は1、2、3、6

　その数自身を除いた約数の和　1＋2＋3＝6

　28の約数は1、2、4、7、14、28

　その数自身を除いた約数の和　1＋2＋4＋7＋14＝28

「へぇ、こんな数があるんだ。8128も完全数？」

「そうだよ。……もうすぐホームルームだから続きは昼休みにしよう」

　自分の席に戻り、俺はため息をついた。解かれるのは分かっていたが、何度も「簡単」と言われると悔しい気持ちになる。もう少し難易度を上げた方がよかったかもしれない。